- abdelbaki.attioui a écrit:
- Montrer que si, pour tout entier n>0
cos(2^n x)>cos(2^n y)
où x et y dans R. Alors, x est un multiple de pi
Hello,
Voici un essaie "mal" rédigé certes, mais qui pourrait être une nouvelle piste à explorer.
! Je viens de me rendre compte que n>0 donc x est plutôt multiple de pi.
** Si x n'est pas dans pi.Q alors l'ensemble A={ 2.pi.(2^n.x/2.pi-E( 2^n.x/2.pi)) / n de N*} est dense dans [0,2.pi].
(j'utilise le fait que si z est irrationnel ( le cas de x/(2.pi) ) alors {{2^n.z}, n de N} est dense dans [0,1]. ou {z} est la partie fractionnaire de z.)
Donc C={ cos(2^n.x) /n de N*} est dense dans [-1,1].
On en déduit pour tout 1/2>£ >0 , il existe M_£ tel que -1<cos(2^M_£.x)<-1+£
Cela veut dire en tenant compte de l'inégalité entre x et y:
Quelque soit £ >0 , il existe M_£ de N tel que -1<cos(2^M_£.x)<-1+£ et -1<cos(2^M_£.y)<-1+£.
remarquons que cos(2^M_£.x)+cos(2^M_£.y) < 0. (proche de -2).
D'autre part on a 0< cos(2^{M_£+1}x)-cos(2^{M_£+1}y) = 2[cos(2^M_£.x)-cos(2^M_£.y)][cos(2^M_£.x) + cos(2^M_£.y)]<0 absurde !
Donc x est de la forme p.pi/q:
## si q / p alors x=k.pi avec k de N et l'inégalité pour n=0 ==> k est pair et donc x multiple de 2pi.
## si q est puissance de 2 , q=2^r pour n=r on trouve -1>cos(2^n.y) absurde ! ( p est impaire pourquoi ?)
## sinon supposons p^q=1 et q >1 et q n'est pas puissance de 2.Et quitte à remplacer p par "k'.q+r'" on peut supposer p/q <= 1 .
Pour n=2
Cette partie est délicate, j'ai une idée tirant profit du fait que C est fini ( cyclique aussi) et que dans ce cas là y est forcément de la forme p'/q'.pi . Mais ce n'est pas facile d'en extraire une preuve ( je pense que ces hypothèse mèneront à montrer que x=y [2pi] ce qui est absurde mais c'est encore loin..)
Je fais un standby et je continuerai plus tard quand j'aurais les idées claires.( cela veut dire que tout le monde pourrait contribuer à achever cette preuve et merci d'avance)
Idée 2:
Pour n de N* on a cos(2^{n+1}x)>=cos(2^{n+1}y) ==> cos(2^n.x) >-cos(2^n.y)
Donc cos(2^n.x)>0 .
soit M de N :
cos(2^{M+1}.x)>0 ==> 2cos(2^M.x)-1>0 *
On définit (Um) la suite qui vérifie U{M+1}=0 et U_m=sqrt((1+U_{m+1})/2)
* ==> cos²(2^M.x) >1+U{M+1} ==> cos(2^M)>U_M
donc pour chaque N on considère la suite (U_{N,n}) définit par :
U_{N,N}=0 ,
pour tout p >N U{N,p}=0
pour tout 0<p<N : U{N,p+1}=2U²{N,p} -1
la remarque est que pour tout N de N cos(2.x)>U{N,1}.
Aprés il suffit de pouver que Lim U{N,1} lorsque N->+°° =1 pour déduire que x =k.pi
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