Avril 2016

1) Existe-t-il une fonction continue f:R→R qui prend chacune des valeurs de son image deux fois exactement?

2) Existe-t-il une fonction continue f:R→R qui prend chacune ses valeurs de son image trois fois exactement?

Je vais proposer une solution qui peut se généraliser. En revanche, c'est une solution en topologie algébrique et théorie de Galois topologique.

Supposons l'existence de f. f est une fonction continue dont les feuillets sont de cardinal 2, alors c'est un revêtement galoisien de base B=f(R). Donc le groupe des automorphismes du revêtement f Aut(B) n'est pas trivial et isomorphe à pi_1(B) le groupe fondamental de B. Mais B est simplement connexe, donc pi_1(B) est trivial, ce qui est absurde.

La généralisation est un petit peu plus délicate vu qu'on aura pas un revêtement galoisien, car on aura un nombre de feuillets supérieur à 2. Par contre, on peut raisonner sur l'application continue bijective induite du quotient g:R/~-->B où ~ est la relation d'équivalence x~y <=>f(x)=f(y). R/~ est homéomorphe à un bouquet de cercles infini dont le groupe fondamental est un groupe libre assez moche, et on raisonne avec la théorie de Galois vu que son groupe des automorphismes ne pourra être un quotient du groupe fondamental de R.

Sauf erreur

Il ne suffit pas a priori que f:R-> f(R) ait ses fibres de meme cardinal pour qu'elle soit un revetement, car il y a aussi une condition topologique a verifie.

Une alternative,
* Le 1) n'est bien evidement pas possible. il suffit de prendre a dans R non nul tel que f(a)=f(0), qu'on peut supposer supperieure a 0. f admet un maximum f(d)>f(0) sur cet interval [0,a], elle attient aussi toute valeurs entre f(0) et f(d) exactement deux fois sur cet interval, une fois sur (0,d) et une autre sur (d,a). Il n'est donc plus possible pour f d'attiendre f(d) une autre fois.
Il semble que cette methode marche pour tout les nombres pairs.

* Le 2) est possible, Voici comment construire une telle fonction, (je vous conseille d'avoir un stylo et une feuille et essayer de suivre graphiquement la construction)
considerer la fonction h(x)=1+sin(x-pi/2) pour x dans [0,3pi], son graphe est inclus dans le rectangel [0,3pi]*[0,2]. Paver le plan avec de tels rectangle. Repliquer la fonction h sur la diagonale de ce pavage. On obtient ainsi une fonction continue qui atteint toute ses valeurs exactement 3 fois.

Il semble aussi que cette construction marche pour tout les nombres impaires.

M. MohE avait raison en disant pour la question n° 1 : Il semble que cette methode marche pour tous les nombres pairs.

Sur Internet, j'ai trouvé une confirmation de son affirmation.



pour la question n° 2, M.MohE avait aussi raison.

En effet MohE, il manque l'homeomorphie locale qui est souvent vérifiée. Le cas pair m'a donné la même idée que tu as eu. Mais quand a première vu je n'ai pas réussi a voir un exemple pour le cas impair, j'ai fantasmé sur une méthode générale. Bien vu pour l'exemple.

Un autre exemple d'une fonction continue f:R→R qui prend chacune des valeurs de son image trois fois exactement:
2/(3pi)*x + sin(x) + 1/(3pi)*sin(2x) .