DL géneral

Déterminer le DL géneral de la fonction rac(1+x+x^2) en 0

Avant tout je voudrais vous remercier pour avoir soulevé ce sujet sur le développement limité généralisé: avant de lire votre sujet, je croyais qu'il n' y avait que les développements limités normaux.

En cherchant des documents qui parlent de ce sujet, j'ai trouvé à la page n° 8 du document suivant : http://math.unicaen.fr/~beeker/IBFA0910/Chapitre5.pdf qu'on parlait de développement limité généralisé en un point x_0 où la fonction tend vers + ou - infini quand x tend vers x_0 , et (x-x_0)^k f(x) tend vers une limite réelle s quand x tendait vers x_0 avec k un réel positif.

Est-ce qu'on parle tous de la même notion?

Le développement limité de racine(1 + x + x^2) au point x_0 = 0 à l'ordre 3 est :
1 + 1/2 x + 3/8 x^2 - 3/16 x^3 + O(x^3), sauf erreur.

Bon travail. Mais je voulais dire par géneralisé le DL a l'ordre n .

Je crois que c'est très dur à réaliser, vu les troncatures qu'on doit faire: ceci sauf avis contraire de nos professeurs.

Evidemment que c'est pas facile . D'aprés mon prof on doit passer par la théorie des polynômes vu qu'en utilisant l'eq diff réalisé par cette fct n'est pas suffisant (je l'ai vérifié).

f(x)=rac(1+x+x²)
f est C infini sur R ==> f admet un DL en 0 à n'importe quel ordre n
et f(x)=\sum_{k=0}^n f^(k)(0)/k! x^k+ o(x^n).

Calcul

f(0)=1

f(x)²(1-x)=(1+x+x²)(1-x)=1-x^3
==> f(x)= rac(1-x^3)/rac(1-x)= (1-x^3)^(1/2) (1-x)^(-1/2)

Mais pour tout p dans N et a dans R
(1-u)^a = \sum_{k=0}^p (-1)^k a_k(a) u^k+o(u^p) avec a_k(a)= a( a-1)...(a-k+1)/k!

==> f admet le DL d'ordre n en 0 avec 3p=<n=< 3p+2. Bien sur, on éliminera après les termes d'ordre >n

f(x)= \sum_{k=0}^p (-1)^k a_k(1/2) x^(3k)+o(x^(3p)) . \sum_{k=0}^{n} (-1)^k a_k(-1/2) x^k+o(x^(n))

\sum_{k=0}^{n} (-1)^k a_k(-1/2) x^k+o(x^(n))
=\sum_{k=0}^{p} (-1)^(3k) a_(3k)(-1/2) x^(3k)+o(x^(3p))
+\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k a_(3k+2)(-1/2) x^(3k+2)+o(x^(3p-1))
+\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^(3k+1) a_(3k+1)(-1/2) x^(3k+1)+o(x^(3p-2))
= \sum_{k=0}^{p} (-1)^(3k) a_(3k)(-1/2) x^(3k)+o(x^(3p))
+x²\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k a_(3k+2)(-1/2) x^(3k)+o(x^(3p-1))
+x\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^(3k+1) a_(3k+1)(-1/2) x^(3k)+o(x^(3p-2))

f(x)= \sum_{k=0}^n b_k x^k+o(x^(n)) ( produit de Cauchy)


avec b_k= \sum_{i=0}^k

J'ai cherché comme un fou sur internet une piste qui mène à la solution, mais en vain.
Merci M. Abdelbaki pour cette solution, qui est un cours en la matière.
Merci aussi à M. Litorus qui a soulevé le sujet.

Une petite question: à la fin de la démonstration, c'est écrit : avec b_k= \sum_{i=0}^k, je crois qu'il y manque quelque chose.

Une autre requête pour tous ceux qui visitent ce site: je crois qu'on devrait nous mobiliser pour animer plus notre site, car les sujets qu'on y traite sont de haut niveau: on y trouve et la qualité et la manière. Pour ce faire, je vais - bien sûr avec la permission de M. Abdelbaki - lancer un marathon développements limités et limites.