n^n =< (n!)^2

Pour réchauffer les visiteurs de ce forum dans ce temps froid et pluvieux, voici un exercice qu'on peut résoudre en sirotant un verre de thé bien chaud.

pour tout entier naturel non nul, montrer que : n^n =< (n!)^2 .

pour 0=<k=<n, on a 0=<(n-k)(k-1) <=> n=<k(n-k+1) =>n^n=prod_{k=1^n}n=<prod_{k=1^n}k(n-k+1)=(n!)².

Bravo!
Dans cette solution,On voit le talent et le génie de M. Kalm.