Équation fonctionnelle

Soit m de IN*. Trouver les f:IN->IN tels que sum_{k=1^m}f_k=m*id où f_k=fofo...fof k fois.

Commencer par les cas m=2 : f+fof=2id et m=3 : f+fof+fofof=3id.

m=2
f(0)=0
si f(a)=0  ==> f(0)=2a=0  
f(1)=1
si f(a)=1  ==> 1+f(1)=2a ==>a=1
f(2)+f(f(2))=4  ==> f(2)=2 ou 3
si f(2)=3  ==> f(f(2))=1 ==> f(2)=1 absurde
Donc f(2)=2
si f(a)=2  ==> 2+f(2)=2a ==> a=2
Supposons que pour tout  0=< k=<n , f(a)=k  ssi a=k
f(n+1)+f(f(n+1))=2(n+1)  ==> f(n+1)= k  avec k=n+1, n+2, ..., 2n+2
si k>n+1, f(f(n+1))=2(n+1)-k< n+1  ==> f(n+1)= 2(n+1)-k=k ==>k=n+1 impossible Donc, f(n+1)=n+1
si f(a)=n+1 ==> n+1+f(n+1)=2a ==> a=n+1

Donc f(n)=n qqs n

f (n+1) peut aussi prendre les valeurs inférieurs à n+1 et f (f (n+1)) celles supérieurs à n+1, c'est un cas qu'il faut traiter aussi. Le cas m=3 est un peu plus délicat mais se traite plus ou moins de la même façon.

kalm a écrit:

f (n+1) peut aussi prendre les valeurs inférieurs à n+1 et f (f (n+1)) celles supérieurs à n+1, c'est un cas qu'il faut traiter aussi. Le cas m=3 est un peu plus délicat mais se traite plus ou moins de la même façon.

Impossible avec HR: Supposons que pour tout 0=< k=<n , f(a)=k ssi a=k
càd l'équation f(a)=k pour un 0=< k=<n n'admet que a=k comme solution

Oui c'est la ligne qu'il fallait rajouter ( juste pour la forme).

x^3+x+1=0