Olympiade epreuve n1

Bonjour ;
Exercice n°1 :
3(a²+b²)-7(a+b)=-4 ==> 3a²-7a+(3b²-7b+4)=0 : équation de second degré en 'a' .
On a Delta=-36b²+84b+1=-(6b)²+14(6b)+1=b'²+14b'+1,
donc Delta>=0 pour b'€[7-5V2;7+5V2], donc b'€{0;1;..........;14}, donc b€{0;1;2} .
a) b=0
donc Delta=1 et a=1, donc (1;0) est solution de l'équation initiale.
b) b=1
donc Delta=49 et a=0, donc (0;1) est solution de l'équation initiale.
c) b=2
donc Delta=25 et a=2, donc (2;2) est solution de l'équation initiale.

L'ensemble des solution de l'équation initiale est : {(1;0) , (0;1) , (2;2)} .

Bonjour ;
Exercice n°1 :
3(a²+b²)-7(a+b)=-4
<==>3(a²+b²-1)=7(a+b-1)
<==> a+b=3k+1 et a²+b²=7k+1 avec k dans Z
<==> a+b=3k+1 et 2ab=9k²-k

Alors a et b racines de 2x² -2(3k+1)x+(9k²-k)=0
Mais (3k+1)²-2(9k²-k)=(k-1)(-9k-1) >=0 ssi k entre -1/9 et 1 ssi k=0 ou 1
Si k=0, a+b=1 et ab=0 alors (a,b)=(0,1) ou (1,0)
Si k=1, a+b=4 e ab=4 alors (a,b)=(2,2)

slt a tt
Exo 1:
3(a²+b²)-7(a+b)=-4⇔3/2(a-b)²+3/2(a+b)²-7(a+b)+4=0⇔3(a+b)²-14(a+b)+8=-3(a-b)²≤0
Posons x=a+b dnc 3x²-14x+8≤0 alors 2/3≤x≤4 dnc a+b=1 ou a+b=2 ou a+b=3 ou a+b=4
Or 3(a-b)²=-3(a+b)²+14(a+b)-8 dnc (a-b)²=1 ou (a-b)²=8/3 ou (a-b)²=17/3 ou (a-b)²=0
Et alors (a,b)=(0,1) ou (1,0) ou (2,2).

Exo 2:
1) On a ∠ACB=∠AEB et <ADC=π-∠DAC-∠ACD=π-∠EAB-∠ACB=π-∠EAB-∠AEB=∠ABE
D'apr la loi des sinus on a : sin(∠ACD)/AD=sin(∠ADC)/AC et sin(∠ABE)/AE=sin(∠AEB)/AB
Donc sin(∠ACD)/sin(∠ADC)=AD/AC=sin(∠AEB)/sin(∠ABE)=AB/AE d'où AD.AE=AB.AC

2)On a ∠ADI+∠AJI=∠ADC+∠AJE=∠ABE+π-∠ABE=π donc A,J,I et D sont cocycliques.

Exo 3:
C'est 24.