Periodicite

monter que f est periodique sachant que:
f(x+1) + f(x-1) = racine(2) * f(x)

Bonjour ;

Notons tout d'abord que par la suite r(2) voudra dire racine carrée de 2 .

Comme on a pour tout réel x : f(x+1)+f(x-1)= r(2)f(x) , donc on a:

1) f(x+1)=r(2)f(x)-f(x-1) .

2) f(x+2)+f(x)=r(2)f(x+1) donc f(x+2)=r(2)f(x+1)-f(x)=2f(x)-r(2)f(x-1)-f(x)=f(x)-r(2)f(x-1) .

3) Après quelques calculs on trouve aussi f(x+3)=-f(x-1) , f(x+4)=-f(x) , f(x+5)=f(x-1)-r(2)f(x)
f(x+6)=-f(x)+r(2)f(x-1) , f(x+7)=f(x-1) et enfin f(x+=f(x) .

Donc la fonction f est périodique de période T=8 .