f''>-1 ==> f<1/8

Soit f:[0,1]-->R continue et 2 fois dérivable sur ]0,1[ telle que
f(0)=f(1)=0 et f"(x)>=-1 pour tout x dans ]0,1[.
Montrer que f(x)=<1/8, pour tout x dans [0,1].

f"(x)>=-1 => g(x)=f(x)+x²/2 convexe => g(x.1+(1-x).0)=<xg(1)+(1-x)g(0)
=>f(x)=<(x-x²)/2=<1/8

kalm a écrit:

f"(x)>=-1 => g(x)=f(x)+x²/2 convexe => g(x.1+(1-x).0)=<xg(1)+(1-x)g(0)
=>f(x)=<(x-x²)/2=<1/8

OK bien vu , mais il manque ceci
f"(x)>=-1 sur ]0,1[ => g(x)=f(x)+x²/2 convexe sur ]0,1[
=> g(x.(1-eps)+(1-x).eps)=<xg(1-eps)+(1-x)g(eps), qqs x dans [0, 1] et eps dans ]0,1[ g est continue sur [0,1].
puis tendre eps vers 0 ...