Entier naturel et Ln

x  est un entier naturel non nul ; y est le nombre des
diviseurs premiers de  x .
Montrez que : Ln(x) ≥ y Ln(2)  

z : nombre de diviseurs de x, noté y dans le lien https://mathsmaroc.jeun.fr/t20869-entier-naturel-et-ln. (p_k){k=1,y} : la suite croissante des diviseurs premiers de x, et (b_l){l=1,y} : les entiers naturels tels que x = [(p_1)^b_1] *[(p_2)^b_2][(p_3)^b_3] *...[(p_y)^b_y]. Alors, en appliquant le théorème de décomposition en nombres premiers, chaque diviseur de x a ses diviseurs premiers parmi ceux de x, et en outre, leurs puissances dans le diviseur sont inférieures ou égales aux leurs dans x, d'où la condition nécessaire et suffisante de diviser x, et par suite, le nombre de diviseurs de x, z = (1 +b_1)(1 +b_2)(1 +b_3)...(1 +b_y) >= 2^y. Or z <= x car les z diviseurs deux à deux différents sont inférieurs à x.

naïl a écrit:

z : nombre de diviseurs de x, noté y dans le lien https://mathsmaroc.jeun.fr/t20869-entier-naturel-et-ln. (p_k){k=1,y} : la suite croissante des diviseurs premiers de x, et (b_l){l=1,y} : les entiers naturels tels que x = [(p_1)^b_1] *[(p_2)^b_2][(p_3)^b_3] *...[(p_y)^b_y]. Alors, en appliquant le théorème de décomposition en nombres premiers, chaque diviseur de x a ses diviseurs premiers parmi ceux de x, et en outre, leurs puissances dans le diviseur sont inférieures ou égales aux leurs dans x, d'où la condition nécessaire et suffisante de diviser x, et par suite, le nombre de diviseurs de x, z = (1 +b_1)(1 +b_2)(1 +b_3)...(1 +b_y) >= 2^y. Or z <= x car les z diviseurs deux à deux différents sont inférieurs à x.

Je ne vois pas comment tu obtiens que . Est-ce que tu peux détailler ce point?
Sinon, on peut conclure autrement en utilisant le résultat connu que .
J'utilise aussi les mêmes notations que toi au début de ta démonstration. On a: .
En combinant ces résultats, on trouve: .
Où est défini dans ta démonstration qui vérifie, comme tu l'as démontré, . Donc: .
CQFD.
Sauf erreurs.

"[...] z <= x car les z diviseurs deux à deux différents sont inférieurs à x". Le nombre de diviseurs de x est inférieur, et même strictement au cardinal de l'ensemble {1 ,2,3, ...x}, sauf égalité, si x = 2.