3!!!

Démontrez que l'entier naturel 3!!! s'écrit au système décimal avec plus de 1000 chiffres .

Bonjour;

On a : 3! = 6 ; 3!! = 6! = 720 et 3!!! = 720! = Produit(k = 1 à k = 720) k
= Produit(k = 1 à k = 99) k x Produit(k = 100 à k = 720) k .


Pour tout 100 =< k =< 720 on a : 10² =< k ;
donc : (10²)^(621) =< Produit(k = 100 à k = 720) k ;
donc : 10^(1242) =< Produit(k = 100 à k = 720) k .

On a : 1 =< Produit(k = 1 à k = 99) k ;
donc : 1 x 10^(1242) =< Produit(k = 1 à k = 99) k x Produit(k = 100 à k = 720) k ;
donc : 1 x 10^(1242) =< Produit(k = 1 à k = 720) k = 3!!! .

Conclusion:
3!!! s'écrit avec plus de 1242 chiffres en système décimal .