belle inéquation dans : R

L'ensemble des solutions de l'inéquation est l'Union de
E={x réels positifs | 6x^(1 /4) +√x >= 7x^(1 /3)} et F={-x | x dans E}. Donc il serait possible de se focaliser sur la recherche de E.

E={x>=0 | 6 +x^(1 /4) >= 7x^(1 /12)}.
If noted g = 6 +x^(1 /4) -7x^(1 /12); x>=0 : dg /dx = 1 /4 x^(-3 /4) -7 /12 x^(-11 /12)
Thus dg /dx > 0 <==> x^(11 /12 -3 /4) > 4 *7 /12
So whatever is x, 6 +x^(1 /4) -7x^(1 /12) >= g[(7 /3)^6]
Then for x >= 0 [x^(1 /4) +√(x /36)] -[7 /6 x^(1 /3)] >= qx^(1 /4) where q =1 -[-(7 /3)^(1.5) +7√(7 /3)] /6, with an equality at x =(7/3)^6. Nevertheless q=1-(7 /9)√(7 /3) and then it is negative.

Bonjour ;

|x|^(1 /4) +√(|x|/36) >= 7/6 |x|^(1 /3) <=> 6|x|^(1 /4) +√(|x|) >= 7 |x|^(1 /3)

<=> 6 u^3 + u^6 >= 7 u^4 avec u = |x|^(1/12) >= 0

<=> u^6 - 7 u^4 + 6 u^3 >= 0

<=> u^3(u^3 - 7 u + 6) >= 0 ; on remarque que u^3 - 7 u + 6 = 0 a pour solution évidente 1

<=> u^3 (u - 1)(u - 2)(u + 3) >= 0

<=> u € [0 ; 1] U [2 ; + infini[ ;

<=> |x|^(1/12) € [0 ; 1] U [2 ; + infini[ ;

<=> |x| € [0 ; 1] U [2^(12) ; + infini[ ;

<=> x € ]- infini ; - 2^(12)] U [- 1 ; 1] U [2^(12) ; + infini[ .

merci pour cette belle solution