Dans N²

résoudre dans N² : 1/a + 1/b = 3/2018

Bonjour;



1/a + 1/b = 3/2018 ;

donc : (a + b)/(ab) = 3/2018 ;

donc : (A + B)/(DAB) = 3/2018 avec D = PGCD(a ; b) ; a = DA ; b = DB ; A et B premiers entre-eux ;
ce qui implique : A et A + B premiers entre-eux ainsi que B et A + B ;

donc : alpha/(Beta AB) = 3/2018 avec d = PGCD(A + B ; D) ; A + B = alpha d ; D = Beta d ; alpha et Beta premiers entre-eux .


Montrons tout d'abord que A et alpha sont premiers entre-eux , ainsi que B et alpha .

Posons A = uM et alpha = uL avec u = PGCD(alpha ; A) ;
donc on a : B = alpha d - A = uLd - uM = (Ld - M)u donc u = 1 ; donc A et alpha sont premiers entre-eux . De même on a B et alpha sont premiers entre-eux .

La fraction alpha/(Beta AB) est irréductible ; donc alpha = 3 et Beta AB = 2018 = 2 . 2009 .


Si A = 1009 alors Beta B = 2 ;
donc : (Beta = 1 et B = 2) ou (Beta = 2 et B = 1) ;
donc : (A + B = 1011 ; d = 1011/3 = 337) ou (A + B = 1010 ; d = 1010/3 n'appartient pas à IN) ;
donc : a = 337 . 1009 = 340033 et b = 337 . 2 = 674 .


Si A = 2 alors Beta B = 1009 ;
donc : (Beta = 1 et B = 1009) ou (Beta = 1009 et B = 1) ;
donc : (A + B = 1011 : cas déjà traité) ou (A + B = 3 ; d = 3/3 = 1) ;
donc : a = 2 . 1009 = 2018 et b = 1 . 1009 = 1009 .


Si A = 1 alors Beta B = 2 . 1009 ;
donc : (Beta = 1 et B = 2018) ou (Beta = 2 et B = 1009) ou (Beta = 1009 et B = 2) ou (Beta = 2018 et B = 1) ;
donc : (A + B = 2019 ; d = 2019/3 = 673) ou (A + B = 1010 ; d = 1010/3 n'appartient pas à IN)
ou (A + B = 3 ; d = 3/3 = 1 : cas déjà traité) ou (A + B = 2 ; d = 2/3 n'appartient pas à IN) ;
donc : a = 1 .673 = 673 et b = 2018 . 673 = 1358114 .


On a donc : (a ; b) € {(340033 ; 674) , (2018 ; 1009) , (673 ; 1358114)} ;
et comme l'équation initiale est symétrique , alors l'ensemble des solutions est :
S = {(340033 ; 674) , (674 ; 340033) , (2018 ; 1009) , (1009 ; 2018) , (673 ; 1358114) , (1358114 ; 673)} .

Seul début dans le but de chercher une simplicité :
2018(A +B) = 3*D.A.B, avec les définitions de aymanemaysae.
A | 2018(A +B) , A et A +B premiers entre eux --> A | 2018, et B | 2018 aussi. Or 2018 = 2 *1009, décomposition en facteurs premiers, et A et B sont premiers entre eux, donc {A,B} vaut soit {1,2018}, {2,1009}, {1}, {1,2}, soit {1,1009}