Jolie question de probabilité

Bonjour tout le monde, j'espère que vous allez bien. Voici, une belle question posée dans un entretien à Amazon.

You have 100 marbles, 50 white and 50 black. and you have 2 sacks. You can put any configuration of marbles in any sack such as you use all the marbles. When I choose a random sack and choose a random marble from it, The probability of that marble being white should be maximized.

Calculate the max probability and what's the configuration that gives u the maximal probability.

50 jetons noirs et 50 jetons blancs sont entièrement distribués sur deux sacs. Ensuite un jeton est choisi arbitrairement à partir d'un sac quelconque- s'il en contient. Donc, quelle distribution est telle que la probabilité que le jeton tiré soit blanc soit maximale?
Donc, notons le nombre de jetons de chaque couleur, blanche et noire, dans chacun des deux sacs, respectivement x, y, 50 -x et 50 -y.
La probabilité de tirer un jeton blanc et de choisir un sac d'abord puis d'en tirer un jeton blanc. Or, il est possible qu'un des sacs ne contienne pas de jeton blanc, voire aucun jeton. Dans ce dernier cas, tirer un jeton blanc revient à choisir le sac plein puis de choisir dans la moitié de tous ses 100 jetons. Donc la probabilité y est de 0.5* 0.5 = 0.25. Mais si chaque sac contient au moins un jeton, la probabilité vaut p = 0.5 x /(x+y) +0.5 (50 -x)/(100 -x -y). Donc, la question est de chercher un maximum pour p(x,y) sur |[0,100]| avec 0 < x+y < 100, et le comparer à 1 /4.

Litorus a écrit:

Bonjour tout le monde, j'espère que vous allez bien. Voici, une belle question posée dans un entretien à Amazon.

You have 100 marbles, 50 white and 50 black. and you have 2 sacks. You can put any configuration of marbles in any sack such as you use all the marbles. When I choose a random sack and choose a random marble from it, The probability of that marble being white should be maximized.

Calculate the max probability and what's the configuration that gives u the maximal probability.

En guise de simplification, je pense qu'on peut supposer que le choix des sacs est uniforme et que le choix des jetons dans un sacs est aussi uniforme. Dans ce cas, on se ramène au problème :

naïl a écrit:

Mais si chaque sac contient au moins un jeton, la probabilité vaut p = 0.5 x /(x+y) +0.5 (50 -x)/(100 -x -y). Donc, la question est de chercher un maximum pour p(x,y) sur |[0,100]| avec 0 < x+y < 100

Par contre, je ne pense pas que la configuration suivante est celle qui maximise la probabilité de tirer un jeton blanc.

naïl a écrit:

La probabilité de tirer un jeton blanc et de choisir un sac d'abord puis d'en tirer un jeton blanc. Or, il est possible qu'un des sacs ne contienne pas de jeton blanc, voire aucun jeton. Dans ce dernier cas, tirer un jeton blanc revient à choisir le sac plein puis de choisir dans la moitié de tous ses 100 jetons. Donc la probabilité y est de 0.5* 0.5 = 0.25.

Intuitivement, je pense que la configuration qui maximise la probabilité est celle où un sac contient un jeton blanc et l'autre sac contient le reste des jetons.
Dans ce cas la probabilité de tirer un jeton blanc est donnée par : .