un nouveau type!

voila un exo que je trouv trè interessant et qui merite d etre posté ici:
determiner ttes les fonctions f de R vers R telles que :

(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y) pour tout x et y de R
voila!

x=0,y=0 : f(0) = 0

x+1, x : (x-1)f(x+1) = (x+1)(f(x)-f(1))
x+2, x : (x-2)f(x+2) = (x+2)(f(x)-f(2))

Mais aussi (x)f(x+2) = (x+2)(f(x+1)-f(1)) = (x+2)((x+1)(f(x)-f(1) - f(1))

En éliminant f(x+2) : f(x) = (f(2)-2f(1))/3 x² + (-f(2)+4f(1))/2 x qui marche

Bonjour.
On désigne par (1) l'équation (x+y)( f(x)-f(y) )=(x-y)f(x+y) pour tout x,y de IR.
Pour x=1 et y=0 (1) donne f(1)-f(0)=f(1) alors f(0)=0.
pour x#y et x#0 , ( f(x)-f(y) )/(x-y)= f(x+y) /(x+y).
On suppose que f est continue alors quand y --> x on aura
f'(x)=f(2x)/2x donc ....
AA++

Je pense que votre solution n'est pas correcte, vu que, comme je l'ai dit, f(x) = a*x +b*x² convient (et ce sont les seules à mon avis)

Cordialement

C'est tµtµ qui a raison
(Du moins, j'ai trouvé la même chose...)

bonjour,chui desolé de dire ça mais qd y --> x alors on aura : f'(x)=f(2x)/2x ( c ça l erreur de abdelbaki.attioui)
donc f' est dérivable sur [1,infini[ et de mem on calcule f'' et f''' et on trouv que f'''=0 d ou f(x)=ax²+bx sur [1,infini[ on remplace ds l equation on trouve que f(x)=ax²+bx sur R
2eme façon de le faire:(classique)
1)on calcule f sur N en fonction de f(1) et f(2)
2)on passe sur Q
3) f é continue sur R alors ...

Bonjour
Désolé pour l'erreur. Mais il faut montrer que f est continue pour passer à la dérivée. Sinon on attaque directement
AA+