Convergence Classique !!!!!

Etudier la convergence simple et uniforme de la suites de fonctions suivantes :
fn(x)=n*cos(x)*(sin(x))^n . pour x dans [0,Pi/2] ..

j'ai vu cet exercice qlq part ( peut être dans le livre rouge)

pour x=pi/2 on a f_n(x)=0; et pour x dans [0,pi/2[ 0=<sin(x)<1 donc
f_n(x) ----> 0 ( car na^n --> 0 si |a|<1).
Donc f_n C.S vers la fonction nulle sur [0,pi/2]

Pour étudier la convergence uniforme de (f_n) vers 0 sur [0,pi/2]. On dérive alors pour n>1 :
f'_n(x)= n [-sin(x)sin^n(x) +ncos^2(x)sin^(n-1)(x)]
f'_n(x)= nsin^(n-1)(x) [-sin^2(x) +ncos^2(x)] =0 ssi x dans ]0,pi/2[ et tan^2(x)=n soit x_n cette solution ( x_n existe car tan est strictement croissante ( bijection) de ]0,pi/2[ sur IR*+) .
On a alors cos²(x_n)=1/(n +1) et sin²(x_n)=n/(n+1)

et f_n(x_n)=n cos^2(x_n)sin^n(x_n)
<==> f_n(x_n)= [n/(n+1)][n/(n+1)]^(n/2) . Calculer cette limite en déduire que la cv est uniforme ou pas
sup{ f_n(x) / x dans [0,pi/2]}= f_n(x_n)


AA+

abdelbaki.attioui a écrit:

j'ai vu cet exercice qlq part ( peut être dans le livre rouge)

Pardonnez mon ignorance mais quel est ce livre rouge ?

Bonjour tµtµ
le livre rouge de l'édition MARKETING Analyse III ( Analyse fonctionnelle )

AA++