Equation fonctionnelle :)

Trouver toutes les fonctions telles que :
,


"1° étape" : montrer que f(0) = 0

f(0) = 0 ??

Ah ?


y = 0 : f(x)² = f(x)² * f(0)²
donc ou bien f(0)=0 et f = 0 ou bien f(0)² = 1


u * a^x² est solution d'ailleurs (les seules ?)

Pas d'hypothèse de régularité sur f ? continue par ex. ?

Euh si, si, f est continue
Désolé, mais comme c'est moi qui ai créé ce problème, et que je n'ai pas l'habitude, j'ai oublié de mettre ça..
Si tant est que je n'ai pas d'erreur(s) dans ma propre solution

Bonjour,
pour tout x et y dans IR : f(x)f(y)=[f ((x+y)/2)f ((x-y)/2)]².
Donc f(x) et f(y) sont de même signe. Comme f est continue alors f(IR) est inclus dans IR+ ou f(IR) est inclus dans IR-.
On peut supposer alors f >=0.

On suppose f(0)²=1 ( le cas f(0)=0 donne f=0). Alors f(0)=1. Si pour un certain x on a f(x)=0, alors f(x/2)=0 ainsi de suite f(x/2^n)=0 . f étant continue on aura alors f(0)=0. Donc f>0.
Soit g=ln(f).
g vérifie l'équation classique g(x+y)+g(x-y)=2(g(x)+g(y)). alors g(x)=ax²

et f(x)=exp(ax²).

Les solutions sont f(x)= exp(ax²) ou f(x)=-exp(ax²).

AA+

Bonjour,

Une petite remarque tardive.
Les solutions continues sont donc :
0, exp(ax^2), -exp(ax^2)

Si on admet des solutions non continues, on a un tas de solutions amusantes.

Par exemple : la fonction caractéristique de Q.


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Patrick