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a_1,a_2.....a_n,b_1,b_2....b_n sont des rèels strictement positifs tels que
a_1>=a_2....>=an, et b_1>=.....>=b_n et :b_1.b_2...b_k>=a_1.a_2...a_k pour tout k compris entre 1 et n ,monter que
b_1+b_2....+b_n>=a_1+...+a_n

Bonsoir ;
Pour k=1..n posons tk = bk/ak
on a par hypothèse t1.t2..tk >= 1 pour tout k=1..n
L'inégalité arithmético-géométrique donne alors (t1+t2+..+tk) >= k pour tout k=1..n
ou encore (t1-1)+(t2-1)+..+(tk-1) >= 0 pour tout k=1..n
Montrons maintenant par récurrence (finie) que pour tout k=1..n
(t1-1)a1+(t2-1)a2+..+(tk-1)ak >= [(t1-1)+(t2-1)+..+(tk-1)]ak
Vrai pour k=1
(t1-1)a1+(t2-1)a2+..+ (tk-1)ak+ (tk+1-1)ak+1 >= [(t1-1)+(t2-1)+..+(tk-1)]ak + (tk+1-1)ak+1
et comme ak >= ak+1 et (t1-1)+(t2-1)+..+(tk-1) >= 0 la récurrence aboutit
Pour k=n on trouve l'inégalité souhaitée (sauf erreur bien entendu)

on pourrait utiliser la transformation d'Abel au lieu de la réccurence.