Questions à Greg

Tiens, des questions simples mais stimulantes (posées à l'oral de l'agreg parait-il) :

1- S_n est-il isomorphe à A_n x {-1,1} ?

2- Quel est le groupe des automorphismes de corps de F_p ?

3- Quels sont les morphismes de S_n dans C* ?

4- Quels sont les sous-groupes de Z/pz x Z/pZ (p premier) ?

pour le 2) y a que l'identité (même preuve que pour les rationnels)

lolo

pour le 4 unsous groupe étant de cardinal divisant p^2 , y a que les triviaux et Z/pZ

lolo

pour la 3 , l'identité et la signature

lolo

tµtµ a écrit:

lolo a écrit:

pour le 2) y a que l'identité (même preuve que pour les rationnels)

lolo

Non non

Y'en manque un ....

Théorème " Dans un corps premier il y a que l'identité comme automorphisme" ??
Attention -I n'est pas un automorphisme (sauf si p=2) et x donne x^p coïncide avec l'identité (p est premier ?)

(Juste pour préciser S_n = groupe symétrique de 1..n, A_n = sous-groupe alterné, F_p = corps d'ordre p premier)

Vraiment j'ai un doute...
si f automorphisme de corps f(x+y)=f(x)+f(y) et f(xy)=f(x)f(y) d'où
f(0) = 0 , f(x) = f(x)f(1) et comme des f(x) non nuls ça existe on a f(1)=1
d'où f(2) = f(1) + f(1) = 2 etc... ? Aut corps (F_p) = {I} .

Pour la 1) si n = 2 la réponse est oui.
Si n >2 on aurait un groupe de cardinal 2 disitngué dans Sn ce qui n'est pas vrai.

lolo

curieux ma réponse n'apparaît pas ? :

Vraiment j'ai un doute...
si f automorphisme de corps f(x+y)=f(x)+f(y) et f(xy)=f(x)f(y) d'où
f(0) = 0 , f(x) = f(x)f(1) et comme des f(x) non nuls ça existe on a f(1)=1
d'où f(2) = f(1) + f(1) = 2 etc... ? Aut corps (F_p) = {I} .

Pour la 1) si n = 2 la réponse est oui.
Si n >2 on aurait un groupe de cardinal 2 disitngué dans Sn ce qui n'est pas vrai.

lolo

Sorry y'a eu un quiproquo je croyais que tu parlais de l'exo 3 .....