olympiade 2007

salut à tous
j'ai encore quelque chose à vous proposer:
ABCD est un parallelograme , et O est son centre.
le parallele à (BD) et passant par A , coupe (CD) dans E et (BC) dans F.
Soit M le point d'intersection de (FO) et (DC).
démontrez que →FO=3/4→FM
(considerent →AB=vecteur AB)
Bonne chance

bonsoir
on pose M' le point d'intersection entre (FO) et (AB)
on considère le triangle ACF on a B app à [FC] et O app à [AC] et (OB)//(AF)
et selon le théorème de Talès OC/AC=BC/CF
et OC/AC=1/2 (ABCD parallélogramme et O on centre)
donc CB/CF=1/2=FB/CF (or CB=FB)
on considère le triangle FCM on a M'app à (FM) et B app à(FC) et (MC)//M'B)
et selon le théorème de Talès FM'/FM=FB/BC=1/2( précédent constat ce qui souligné)
alors FM'/FM=1/2
on consdère les triangles M'BO et ODM
on a DO=OB ( ABCD parallélogramme et O son centre)
l'angle M'OB=l'angle DOM ((FM) et (BD) se croisent en O [retour à la figure])
l'angle M'BO=l'angle ODM ((DC)//(AB) et (BD) les croisent [retour à la figure])
donc les 2 triangles sont égaux ce qui donne OM'=OM
on a 2MM'=FM et MM'=2M'O
donc 4M'o=FM
et 2FM'=FM
et FM'+M'O=FM donc 2M'O+2FM'+2M'O=2FM
ce qui donne 2FO+2/3FO=2FM
alors 8/3FO=2FM
FO=3/4FM
→FO=3/4→FM

exelent
felicitations c est la bonne reponse

memath a écrit:

exelent
felicitations c est la bonne reponse

mircé fréro