x=2+2sqrt(1+12n²)

Montrez que x=2+2sqrt{1+12n²} est un carré quand x est un entier avec n un entier pos.

on doit prouver que n qui est un carré parfais ou x ?

maintenant c est clair

si on prends n=1 on a : x=2+2sqrt13 qui n'est pas un carré (sauf erreur)

Tu as raison mais j'ai dit QUAND x est un entier

Amazigh a écrit:

Tu as raison mais j'ai dit QUAND x est un entier

desolé mais j'ai pas bien compris la question pouvez vous l'eclaircir?

Ok

Preuver que x element de N <=> x=k² avec k element N

Bien mntenant ?

Amazigh a écrit:

Ok

Preuver que x element de N <=> x=k² avec k element N

Bien mntenant ?

prends x=1 ?

Mais x=2+2 sqrt (1+12n²)

Bonjour,

x = 2 + 2sqrt(1 + 12n^2)
x entier ==> x pair ==> il existe c impair tq : c^2 = 1 + 12 n^2
Donc (c-1)(c+1) = 12n^2
Comme c-1 et c+1 ne peuvent tous deux être divisibles par 3 ou par 4, on a 2 cas :

Cas1 : c-1 = 6u^2 et c+1 = 2v^2
Cas2 : c-1 = 2u^2 et c+1 = 6v^2

Le cas 2 est impossible car il implique 3v^2 - u^2 = 1 et donc u^2=2 modulo3, ce qui est impossible.

Donc, x entier ==> c+1 = 2v^2
Or, x = 2 + 2c = 2(c+1)
Donc x = 4v^2 = (2v)^2

CQFD

attends, attends, explique tes 2 cas svp.

Ok, désolé. Je suis peut-être un peu rapide.
C'est un raisonnement classique pour les équations diophantiennes.
On a :
(c - 1)(c + 1) = 12 n^2
Pour tout facteur premier p > 3 de c - 1, p ne peut diviser c+1 (car il diviserait c+1 et c-1, donc leur différence 2). Par ailleurs, p est à une puissance paire dans 12n^2 (puisqu'il ne peut diviser 12, et qu'il divise donc n^2).
Donc, les diviseurs premiers > 3 de c - 1 sont à une puissance paire dans c-1.

On peut de la même façon établir que les diviseurs premiers > 3 de c + 1 sont à une puissance paire dans la décomposition de c + 1.

Donc :
c - 1 = 2^a 3^b u^2
c +1 = 2^c 3^d v^2
En considérant que si a, b, c ou d est > 1, j'intègre la plus grande valeur paire dans u^2 ou dans v^2, je peux dire que ci-dessus, a, b, c et d valent tous 0 ou 1.

a et c valent (0,0) ou (1,1) car (0,1) ou (1,0) impliqueraient que la puissance de 2 dans 12n^2 serait impaire.
Mais a et c ne peuvent valoir (0,0) car cela nécessiterait que u et v soient pairs tous deux (c-1 et c+1 sont de mêmes parités et 12n^2 est pair), donc que 4 divise c-1 et c+1, donc leur différence, ce qui est impossible.
Donc a = c = 1

Par ailleurs, b et d ne peuvent valoir (0,0) ou (1,1) car alors la puissance de 3 dans 12n^2 serait paire, ce qui est faux.

Donc :
a = c = 1
Et soit b = 0 et d = 1, soit b = 1 et d = 0

D'où les deux cas :
Cas 1 : c - 1 = 6u^2 et c + 1 = 2v^2
Cas 2 : c - 1 = 2u^2 et c + 1 = 6 v^2


J'espère que c'est plus clair.
Patrick

Ah merci

J'avais une autre solution :

C'est clair que 12n²+1 doit etre un carré (et c'est 1 mod 4), donc 12n²+1=4k²+4k+1 ==> 3n²= k (k+1) pgcd(k,k+1)=1

donc (n>1) n²|k ou k+1 et 3|k ou k+1
Maintenant c'est facile.

Cela me paraît faux.

De 3n^2 divise k(k+1), tu ne peux déduire n^2 divise k ou k+1.
Tu peux seulement dire : n^2 = u^2v^2 avec u^2 divise k et v^2 divise k+1.

Ceci dit, cela t'amène bien au résultat quand même :
Tu as deux cas :

Cas 1 : k = 3u^2 et k+1 = v^2
Cas 2 : k = u^2 et k+1 = 3v^2

Le cas 2 s'élimine par évaluation de 3v^2 - u^2 modulo 3
Il reste le cas 1.

Et comme x = 4k + 4, on a bien x = (2v)^2

C'est le même raisonnement que moi, je pense, peut-être plus lisible.

Patrick

Excusez-moi, j'etais trop vite et je me trompais.

Oui ca j'avais.