...>=2^(m+1)

Soient a,b >0 et m E N, montrez que:

(1+a/b)^m+(1+b/a)^m >= 2^(m+1)

Amazigh a écrit:

Soient a,b >0 et m E N, montrez que:

(1+a/b)^m+(1+b/a)^m >= 2^(m+1)

on remarque que : 1+a/b>=2(a/b)' et 1+b/a>=2(b/a)'
(x)' =racine de x

j ai pas très bien compris selfrespect est ce que tu veux mieux éclairicir

mohamed a écrit:

j ai pas très bien compris selfrespect est ce que tu veux mieux éclairicir

salut Mohamed.
bon on a pour tout x de R+
x+1-2V(x)=(V(x)-1)²>=0 (V(x) =racine de x ;V(4)=2 et V(9)=3..)
=+>x+1>=2V(x)
prenons x=a/b puis x=b/a et on obtient les inegalités suivantes:
1+a/b>=2V(a/b) et 1+b/a>=2V(b/a)
==>(1+a/b)^m>=(2V(a/b))^m et (1+b/a)^m>=(2V(b/a))^m
==>(1+a/b)^m>=[2^m][V(a/b)]^m et (1+b/a)^m>=[2^m][V(b/a)]^m
on faisons la somme de ces deux inegalité on a
==>S>=[2^m][((V(a/b))^m)+((V(b/a))^m)]
et on a qq soient x,y >=0 +y>=2V(xy)
considere x= (V(a/b))^m et y=(V(b/a))^m et remarque que xy=1
donc x+y>=2V(xy)=2
donc S>=[2^m]*2=2^(m+1)
voila;