inégalité00

prouver ssi a, b et c ont des reel(+*)
.
[edité par l'administration]

utilise cauchy shwarts in engel form. c est a dire :
sum(a^(3/2)\(ab+ac)^(0.5)) >=(a+b+c)^(3/2)/(2(ab+ca+bc))^(0.5).and use mac laurin inequalite .(cour d enequalite animath enequalite symetrique.

Avec S=a+b+c , x=a/S , y=b/S et z=c/S l'inégalité demandée devient
x/V(1-x) + y/V(1-y) + z/V(1-z) >= V(3/2)
qui est une simple conséquence de la convexité de la fonction x-->x/V(1-x) (sauf erreur)

slt, voici ma solution :
posons S = l'expression en gauche
par role de symetrie on peut supposer que a>=b>=c
donc 1/( r(c+b) ) >= 1/( r(a+c) ) >= 1/( r(a+b) )
en appliquant chebychev on obtient :

S >= (1/3) (a+b+c) [ 1/( r(a+b) ) + 1/( r(b+c) ) + 1/(r(a+c) ) ]
>= 3(a+b+c) / r(a+b) + r(b+c) + r(a+c)

donc l'inegalité à demontrer devient :

9(a+b+c)² / 2 ( a + b + c + r[(a+b)(b+c)] + r[(a+b)(a+c)] + r[(a+c)(b+c)] >= (3/2) (a+b+c)

c-à-d : 3(a+b+c) >= a + b + c + r[(a+b)(b+c)] + r[(a+b)(a+c)] + r[(a+c)(b+c)]

c-à-d : (a+b) + (b+c) + (a+c) >= r[(a+b)(b+c)] + r[(a+b)(a+c)] + r[(a+c)(b+c)]

ce qui est vrai ( x+y+z >= r(xy) + r(yz) + r(xz) ) d'où le résultat !