P(b)-P(a)=(b-a)P'(tb+(1-t)a)

Bonjour
Soit P(x) un polynome de degré impair avec coefficients réels. Soit
a un réel fixé tel que P"(a) non nul. Montrer que pour tout t de ]0,1/2[
il existe b différent de a tel que P(b)-P(a)=(b-a)P'(tb+(1-t)a)

AA+

Bonjour
On considère le polynôme Q(x) = P(x + a)- P(a)- xP'(tx + a).
On a alors Q(0) = Q'(0) = 0 et Q"(0) = (1-2t)P"(a)# 0. Par suite
Q(x) = x²R(x) où R(x) est un polyôme de degré impair, avec R(0)# 0.
Alors R(x) a une racine réel c#0.
On a donc Q(c)=0 ou encore P(c+a)-P(a)=cP'(tc+a).
Il suffit ensuite de prendre b=a+c
AA+