Bonjour,
p^2-p+1 = a^3 ==> p(p-1)=(a-1)(a^2+a+1)
p ne peut diviser a-1 car alors on aurait (a-1)>=p, a^2+a+1 > p, et (a-1)(a^2+a+1)> p^2 > p(p-1).
Donc p divise a^2+a+1 et il existe k entier tel que :
E1: a^2+a+1 = kp
E2: k(a-1) = p-1
de E2, on déduit que p=1 modulo (a-1) et de E1 on déduit alors que k = 3 modulo (a-1)
Mais k ne peut être >= a-1 + 3 = a+2
Sinon, en effet, E2 impliquerait p >= a^2 +a -1, ce qui serait en contradiction avec E1.
Donc k = 3, puis (d'après E2) p = 3a-2, puis (d'après E1) a^2+a+1 = 9a-6, soit (a=1,p=1) ou (a=7 ,p=19)
Le premier cas est à éliminer (1 non premier), et il reste comme seule solution p=19 :
19^2 - 19 + 1 = 7^3
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Patrick
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