m²+2m=n^4+...

Trouver tous les solutions entiers m,n telle que

m²+2m=n^4+20n^3+104n²+40n+2003

Salut,

Joli petit problème

m²+2m=n^4+20n^3+104n²+40n+2003 peut s'écrire (m+1)^2 - (n^2+10n+2)^2 = 2000

Soit u^2 - v^2 = 2000 avec u=m+1 et v = n^2+10n+2
Donc (u+v)(u-v)=2000
Il y a 12 façons de décomposer 2000 en produit de deux facteurs de mêmes parités, ce qui conduit à 12 couples (u,v), et donc 12 couples (m+1, n^2+10n+2) :
(501,+/-499), (252,+/-248),(129,+/-121),(105,+/-95),(60,+/-40),(45,+/-5)

Il y a donc 12 équations du second degré n^2+10n+2 = chacune des 12 valeurs de v
La seule qui ait une solution entier naturel est n^2+10n+2 = 121 qui donne n=7. La valeur de u correspondante est 129. m vaut donc 128

La seule solution au problème est donc m=128, n=7
et on vérifie :
Pour m=128, m^2+2m = 16640
Pour n=7, n^4+20n^3+104n²+40n+2003 = 16640

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Patrick

Voulez vous expliquez le part de "Il y a 12 façons de décomposer ..."

Merci

re-bonjour,

Amazigh a écrit:

Voulez vous expliquez le part de "Il y a 12 façons de décomposer ..."

Merci

Oui, bien sûr :
u^2 - v^2 = 2000 <=> (u+v)(u-v) = 2000
u+v et u-v sont donc deux diviseurs de 2000 (dont le produit donne 2000). Ils sont de plus de mêmes parités puisqu'ils diffèrent de 2v, nombre pair.

Pour déterminer u et v, on cherche donc les décompositions de 2000 en produit de 2 facteurs de mêmes parités, donc pairs (puisque 2000 est pair).

On cherche donc toutes les façons d'écrire 2000 = (2x) (2y), soit 500 = xy.
On cherche donc tous les diviseurs de 500 = 2^2 5^3.
Et il y a 12 diviseurs de 500 : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 500.

Soit 12 cas :
diviseur 1 ==> 2000 = 2 * 1000 ==> u+v=2, u-v=1000 ==> u = 501, v=-499
diviseur 2 ==> 2000 = 4 * 500 ==> u+v=4, u-v=500 ==> u = 252, v=-248
diviseur 4 ==> 2000 = 8 * 250==> u+v=8, u-v=250 ==> u = 129, v=-121
diviseur 5 ==> 2000 = 10 * 200 ==> u+v=10, u-v=200 ==> u = 105, v=-95
diviseur 10 ==> 2000 = 20 * 100 ==> u+v=20, u-v=100 ==> u = 60, v=-40
diviseur 20 ==> 2000 = 40 * 50 ==> u+v=40, u-v=50 ==> u = 45, v=-5
diviseur 25 ==> 2000 = 50 * 40 ==> u+v=50, u-v=40 ==> u = 45, v=+5
diviseur 50 ==> 2000 = 100 * 20 ==> u+v=100, u-v=20 ==> u = 60, v=+40
diviseur 100 ==> 2000 = 200 * 10 ==> u+v=200, u-v=10 ==> u = 105, v=+95
diviseur 125 ==> 2000 = 250 * 8 ==> u+v=250, u-v=8 ==> u = 129, v=+121
diviseur 250 ==> 2000 = 500 * 4 ==> u+v=500, u-v=4 ==> u = 252, v=+248
diviseur 500 ==> 2000 = 1000 * 2 ==> u+v=1000, u-v=2 ==> u = 501, v=+499

Est-ce plus clair ?

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Patrick

Maintenant c'est très clair, je n'ai pas compris tu as dit parce que je ne comprends pas bien le francais.

merci