Nombre de messages : 2564 Localisation : maroc Date d'inscription : 27/11/2005
Sujet: abélien Dim 08 Jan 2006, 11:43
Bonjour On se donne un groupe G, et f un automorphisme involutif dont le seul point fixe est 1. Montrer que G est abélien. AA+
_________________ وقل ربي زد ني علما
tµtµ Maître
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Sujet: Re: abélien Dim 08 Jan 2006, 15:46
Ca fait une heure que je suis dessus ....
Soit g : x -> x^(-1) * f(x)
On a g injective par unicité du point fixe On a g(g(x)) = x^(-1) donc g est surjective.
Maintenant c'est facile, f(x^(-1) * f(x)) = (x^(-1) * f(x))^(-1)
Le seul cas où x -> x^(-1) est un automorphisme c'est quand G est abélien
lolo Maître
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Sujet: Re: abélien Dim 08 Jan 2006, 18:24
j'ai du mal avec la preuve précédente ?
g(x)=1 n'a que 1 comme solution, mais pourquoi cela prouve l'injectivité ? g n'est pas un morphisme g(xy) = (xy)^-1 f(xy) = y^-1 . x^- 1 f(x)f(y) n'est pas g(x)g(y) ?
Ensuite g(g(x)) = [ x^-1 f(x)]^-1 f( x^-1 f(x)) = f(x^-1) .x f(x^-1) x ?
lolo perdu
tµtµ Maître
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Sujet: Re: abélien Dim 08 Jan 2006, 18:57
je m'ai peut-être gouru mais :
x^-1 f(x) = y^-1 f(y) => yx^-1 = f(y)f(x)^-1 = f(y)f(x^-1) = f(yx^-1) et donc yx^-1 = 1.
lolo Maître
Nombre de messages : 91 Date d'inscription : 12/12/2005
Sujet: Re: abélien Dim 08 Jan 2006, 19:09
très bien , je crois que jsuis pas en forme ce soir
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abélien
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