stages du maroc 2005

trouver tous les entiers a,b,c tel que:
a^2+b^2+c^2=2abc.

Strictement positifs les entiers, j'imagine?

C'est un problème très bien connu en arithmétique, cas particulier de l'équation de Markov (a²+b²+c² = nabc, où a, b, c et n sont des entiers strictement positifs) dont on sait qu'elle admet des solutions si et seulement si n = 1 ou n = 3.

Pour ce cas particulier, un indice : regarder modulo 4.

si l'un des trois nombres est egale a 0 alors a²+b²+c²=0 cad (a,b,c)=(0,0,0)
supposons que l'equation admet une solution ds (N*)^3 .on pose a=(2x+1)(2^u) , b=(2y+1)(2^v) et c=(2z+1)(2^w)
alors (E) <==> (2x+1)²(2^2u)+(2y+1)²(2^2v)+(2z+1)²(2^2w)=2^(u+v+w+1)(2x+1)(2y+1)(2z+1)
pour u<=v<=w on a E <==> (2x+1)²+(2y+1)²(4^(v-u))+(2z+1)²(4^(w-u))=2^(v+w-u+1)(2x+1)(2y+1)(2z+1)
==> l'un des 2 nombres 4^(v-u) , 4^(w-u) est impair cad u=v ou u=w
si u=w alors u=w donc (2x+1)²+(2y+1)²+(2z+1)²=2^(u+1)(2x+1)(2y+1)(2z+1) absurde car le premier est impair alor ke le 2eme est pair
si u=v alors w>u donc (2x+1)²+(2y+1)²+(2z+1)²(4^(w-u))=2^(w+1)(2x+1)(2y+1)(2z+1)
on a (2x+1)²+(2y+1)²+(2z+1)²(2^(w-u)) = 2 [4]
mais 2^(w+1)(2x+1)(2y+1)(2+z1) = 0 [4] (car w>=u+1>=1) absurde
donc (a,b,c)=(0,0,0) est la seule solution