A=E

Sujet: A=E Sam 17 Mar 2007, 11:45

on considere l'ensemble E={1,2,...,p}(p est un nombre premier).
soit A un sous ensemble de E ayant au moin deux elements et verifiant les deux conditions :
- p appartient a A
- si a et b sont deux elements de A alors |a-b| appartient aussi a A
montrer que A=E

Sujet: Re: A=E Sam 17 Mar 2007, 12:10

Bonjour,

Soit m le plus petit élément de A.
Supposons que m est différent de 1, :
Soit p = u*m + r la division euclidienne de p par m (avec, donc, r < m)
Par définition de A, p et m étant distincts et appartenant à A, p - m appartient à A.
De même, p-m et m étant distincts (p premier et m > 1) et dans A, p - 2m est dans A.
...
Donc p-u*m = r est dans A, ce qui contredit le fait que m est le plus petit élément de A (r < m puisque reste de division euclidienne, et r > 0 puisque p premier et m > 1)

Donc m = 1
Donc p-1 est dans A
Donc p-2 est dans A
...
Donc A = E.

--
Patrick