Bonjour,
- Amazigh a écrit:
- Donc montrez ta preuve svp.
1) Preuve que 1, 625, 6561 et 4100625 sont solutions de n=d(n)^4 :
d(1) = 1; 1 = 1^4 ==> 1 = d(1)^4 ==> 1 est solution
625 = 5^4 ==> d(625) = 5 ==> 625 = d(625)^4 ==> 625 est solution
6561 = 3^8 ==> d(6561)=9 ==> 6561 = d(6561)^4 ==> 6561 est solution
4100625 = 5^4*3^8 ==> d(4100625)=5*9 ==> 4100625=d(4100625)^4 ==> 4100625 est solution
2) preuve que ce sont les seuls : je n'ai pas cette preuve. Je cherche (comme je l'ai dit dans mon premier post)
3) comment me sont venues ces solutions (on n'est plus dans le domaine des preuves, mais dans celui des démarches de recherches de solution)
n = p1^k1 p2^k2 ... p_i^k_i
d(n) = (k1+1)(k2+1)...(k_i+1)
Si n est une puissance quatrième, tous les k_i sont multiples de 4. Donc d(n) est impair et aucun p_i ne vaut 2.
Si n = d(n)^4, il est évident que un ou plusieurs (p_i,k_i) sont tels que p_i^k_i <= (k_i+1)^4, donc tels que p_i <= (k_i+1)^(4/k_i)
Calculons alors (k_i+1)^(4/k_i) pour k_i=4, 8, 12, ... :
(4+1)^(4/4) = 5 ==> p_i = 3 ou 5
(8+1)^(4/ 8 ) = 3 ==> p_i = 3
(12+1)^(4/12) = 2,35... ==> pas de p_i impair possible
L'expression p_i^k_i <= (k_i+1)^4 n'a donc que 3 solutions :
3^4 < 5^4
5^4 = 5^4
3^8 = 9^4
En s'appuyant uniquement sur les égalités, on trouve directement les quatre solutions que j'ai données :
1
5^4
3^8
5^4 * 3^8
Il reste peut-être des solutions dans lesquelles la présence d'un 3^4 < 5^4 éuilibrerait un ou plusieurs autres p_i^k_i > (k_i+1)^4. probablement pas, mais à creuser (ce que j'ai déjà dit deux fois).
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Patrick
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