puissance de 5

prouver qu'il n'ya pas d'entier n superieur a 1 tel que la somme de ses diviseur est une puissance de 5

on prend un n>1:
on commence par n de la forme n=p ^i avec p premier
la somme des diviseurs est 1+p+...+p^i=5^j
d ou (p^(i+1)-1)/(p-1)=5^j
par suite p^(i+1)-1=(5^j)*(p-1)
on pass modulo 5 on obtien p^(i+1)=1 modulo 5
par suite i+1 est un multiple de 4 ( par ferma ou euler)
d ou i+1=4k
on remplace est on factorise on obtien:
(p^k-1)(p^k+1)(p^2k+1)=(5^j)*(p-1)
on traite le cas de p#2:
comme p^k+1 et p^2k+1 sont premiers avec p-1 alors on déduit que:
p^k+1=5^u et p^2k+1=5^v
la resolution de ce systeme conduit a des contradictions( par exemple vs pouvez faire la difference et utiliser le fait que p est premier avec 5)
le cas p=2:
ds ce cas l equation (p^4k-1)/(p-1)=5^j devient 2^4k-1=5^j
on factorise
(2^k-1)(2^k+1)(2^2k+1)=5^j
donc ts les membres sont des puissances de 5
de la meme facon on demontre que c impossible
ainsi ya ps de solution pour n=p ^i
on pren un n de N ( n importe quelle forme)
alors le somme de ces diviseurs est
produit((p^(i+1)-1)/(p-1)) (avec p parcours les nombres premiers qui divisent n) qui doit etre une puissance de 5 donc chak terme doit etre une puissance de 5
par suite p^(i+1)-1)/(p-1)=5^i
et on a demontré ds la premiere partie de la demonstration que c ps possible
conclusion: ya ps de n#1 qui verifie la relation
NB: je sé que la solution é longue mai c la seule que g trouvé (pr le momen ...)

g commi une erreur ds la demo, ...voila une demo plu simple et correcte 100%
la somme des diviseurs =produit((p^(i+1)-1)/(p-1))=5^k
par suite (p^(i+1)-1)/(p-1)=5^j
par fermat ou euler i+1=2n car l ordre est pair puisqu il divise 4
d ou p^2n-1=5^j(p-1)
on factorise (p+1)(segma ((p2)^m ou m varie de 0 a n)=5^j
d ou p+1 est une puissance de 5
c ad p=5^x-1 qui est divisible par 4 contradiction avec p premier
donc ya ps de n#1 qui verifie la relation

bel_jad5 a écrit:

par suite (p^(i+1)-1)/(p-1)=5^j
par fermat ou euler i+1=4n

si a^h=1[5] on a ord(a)|h,
mais on a pas forcement ord(a)=4,
par exemple 4^2=1[5] et 4 ne divise pas 2.

j ai corrigé l erreur
bien vu