soient.......

soient x,y,z des réels positifs ou nuls vérifiant :
x+y+z=1

prouver les inégalités:
0=<xy+yz+zx-2xyz=<7/27

tu doit prendre x=a+b y=a+c z=b+c

Euclideofthehole a écrit:

soient x,y,z des réels positifs ou nuls vérifiant :
x+y+z=1

prouver les inégalités:
0=<xy+yz+zx-2xyz=<7/27

premierement je tien a te feliciter pour ce bon exo

il est clair que l'un des nombres est <1/2
supposons que z<1/2:
et posons

alors

alors:







alors <0

ET VOILA QU'EST CE QUE VOUS EN PENSEZ

il n y aurait pas une autre methode
j'aimerais voir la tienne KALM si c possible
merci

salut monsieur g_unit....(7am)
jusqu'a mnt je ne trouve aucune methode ok
mais il est facile dem1 s'il plait à dieu

ok mr eucl........ (7am) je vais attendre

kitane pahlawane

g_unit_akon a écrit:

ok mr eucl........ (7am) je vais attendre

kitane pahlawane

wakha a kyayla ouald trou noir

Euclideofthehole a écrit:

wakha a kyayla ouald trou noir

c'est qoui ça???
no relation kitane le palawan

Comme x+y+z = 1 les 3 nombres ne peuvent être simultanément >1/3 , l'un est =< 1/3 ; si c'est z=z£ 1/3, puisque S=xy+yz+zx-2xyz=z(x+y)+xy(1-2z) et que 1/3=<1-2z alors 0£ S; même raisonnement si c'est x ou y qui est =< 1/3 et donc on a toujours 0 £ S.

Montrons maintenant que S=< 7/27. Comme précédemment supposons, par exemple, que z =<1/3 ce qui assure 1-2z >0.

xy = 0,25((x+y))2-(x-y)2) £ 0,25(x+y)2 et S =< z(x+y)+0,25(x+y)2(1-2z) = f(z)

On a f(z) = z(1-z)+0,25(1-z)2(1-2z)=0,25(-2z3+z2+1) et f '(z) = 0,5z(1-3z) montre (faire un tableau de variation) que pour tout z entre 0 et 1/3 on a f(z)=< f(1/3)=7/27 et S =< 7/27 ; même raisonnement si c'est x ou y qui est £ 1/3 et donc on a toujours S=< 7/27 .

Rem : on a S = 7/27 ssi x = y = z =1/3. En effet, si par exemple c'est z £ 1/3 , on aura S = 7/27 ssi f(z)=7/27 et S=f(z) soit ssi z =1/3 et 0,25((x+y))2-(x-y)2)=0,25(x+y)2, soit ssi z=1/3 et x=y soit ssi x=y=z=1/3 (puisque x+y+z=1).

si tu applique ma methodetu trouvra a+b+c=1/2
donc l'inegalite est equivalente a
(1/2-a)(1/2-b)+(1/2-a)(1/2-c)+(1/2-b)(1/2-c)-2(1/2-a)(1/2-b)(1/2-c)
=2abc+1/2<=7/27 et qui est positive