equation fonctionnelle

detrminer les fcts definit de R dans R par :
*f(0)=1/2
*f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)
a est un réel non nul

Bonjour selfrespect

On a donc P(x,y) : f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)

P(0,0) ==> f(0) = 2f(0)f(a) ==> f(a) = 1/2
P(x,0) ==> f(x) = f(x)f(a) + f(0)f(a-x) ==> f(x) = f(a-x)
On peut alors récrire P(x,y) : f(x+y) = 2f(x)f(y)
P(x/2,x/2) ==> f(x) = 2f(x/2)^2 ==> f(x) >= 0 pour tout x
P(x,a-x) ==> f(a) = 2f(x)^2 ==> f(x)^2 = 1/4 ==> f(x) = 1/2 puisque f(x) >=0

Donc, seule solution : f(x) = 1/2

--
Patrick

pco a écrit:

Bonjour selfrespect

On a donc P(x,y) : f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)

P(0,0) ==> f(0) = 2f(0)f(a) ==> f(a) = 1/2
P(x,0) ==> f(x) = f(x)f(a) + f(0)f(a-x) ==> f(x) = f(a-x)
On peut alors récrire P(x,y) : f(x+y) = 2f(x)f(y)
P(x/2,x/2) ==> f(x) = 2f(x/2)^2 ==> f(x) >= 0 pour tout x
P(x,a-x) ==> f(a) = 2f(x)^2 ==> f(x)^2 = 1/4 ==> f(x) = 1/2 puisque f(x) >=0

Donc, seule solution : f(x) = 1/2

--
Patrick

oui bravo Mr pco .
voiçi une autre question :
determiner tous les fcts continues de R dans R definit par
f(x+2)-7f(x+1)+10f(x)=0
merçi

selfrespect a écrit:

voiçi une autre question :
determiner tous les fcts continues de R dans R definit par
f(x+2)-7f(x+1)+10f(x)=0
merçi

f(x+2) - 7f(x+1) + 10f(x) = 0 <=> f(x+2)-5f(x+1) = 2[f(x+1)-5f(x)] <=> (f(x+1) - 5f(x))/2^x = h(x) périodique continue de période 1.
<=> f(x+1) - 5f(x ) = 2^x h(x) <=> f(x+1)/5^(x+1) = f(x)/5^x + (2/5)^x h(x)/5 <=> f(x+n)/5^(x+n) = f(x)/5^x + ((2/5)^x + (2/5)^(x+1) + ... . (2/5)^(x+n-1))h(x) / 5 (en se rappelant que h(x) a une période 1).

Donc f(x+n) = f(x) 5^n + 2^x(5^n - 2^n) h(x) / 3
Il reste à assurer la continuité en n : g(1) = 5g(0) + h(0)

Cette forme permet de définir f(x) sur R à partir de sa définition sur [0,1[.
Soit h(x) quelconque continue périodique de période 1.
Soit g(x) quelconque définie sur [0,1] continue et telle que g(1) = 5g(0) + h(0)
Alors f(x) définie comme suit est solution de l'équation demandée :

f(x) = g(x-[x]) 5^[x] + 2^(x-[x])(5^[x] - 2^[x]) h(x) / 3

On peut aussi écrire :

====================================
Soit k(x) quelconque continue sur[0,1] telle que k(0) = k(1)
Soit g(x) quelconque définie sur [0,1] continue et telle que g(1) = 5g(0) + 3k(0)
Alors f(x) définie comme suit est solution de l'équation demandée :

f(x) = g(x-[x]) 5^[x] + (5^[x] - 2^[x]) 2^(x-[x]) k(x - [x])


et toute solution est de cette forme.
====================================


Exemples :

1) k(x) = 0, g(x) = 0
==> f(x) = 0 est solution

2) k(x) = 1 et g(x) = 3x
==> f(x) = 3(x-[x]) 5^[x] + (5^[x] - 2^[x]) 2^(x-[x]) est solution

3) k(x) = sin(pi*x) et g(x) = 4x^2 + 1
==> (4(x-[x])^2 + 1) 5^[x] + (5^[x] - 2^[x]) 2^(x-[x]) sin(pi*(x - [x])) est solution

--
Patrick

pco a écrit:

Soit k(x) quelconque continue sur[0,1] telle que k(0) = k(1)
Soit g(x) quelconque définie sur [0,1] continue et telle que g(1) = 5g(0) + 3k(0)
Alors f(x) définie comme suit est solution de l'équation demandée :

f(x) = g(x-[x]) 5^[x] + (5^[x] - 2^[x]) 2^(x-[x]) k(x - [x])

Autres exemples :

4) k(x) = (a-5)/3 et g(x)=a^x
==> f(x) = a^(x-[x])5^[x] + ((a-5)/3)5^[x]2^(x-[x]) - ((a-5)/3)2^x est solution.
Avec deux cas particuliers :
4.1) a = 5 ==> f(x) = 5^x
4.2) a = 2 ==> f(x) = 2^x
mais aussi :
4.3) a = 8 ==> f(x) = 5^[x] 2^(x-[x]) (1 + 2^(2x-2[x])) - 2^x

5) g(x) = 0, k(x) = sin(2pi*x)
==> f(x) = ((5/2)^[x] - 1) 2^x sin(2pi*x)

...

--
Patrick

Bonjour a tous
c'est mon 1er post donc j'essaierai de faire de mon mieux
en fait je voulais juste montrer une solution partielle contrairement a pco du dernier probleme; (en fait je vois pas pourquoi on ne trouve pas pareil)
j'ai pensé à
Un=f(n+x)
on obtient donc une suite récurente d'ordre 2
Un+2 - 7*Un+1 + 10*Un = 0
qu'on sait résoudre en
Un = a(x)*(r1^n) + b(x)*(r2^n) (r1 et r2 solutions de x^2-7x+10=0)
on trouve r1=2 et r2=5
donc Un=a*2^n +b*5^n = f(n)
par ailleur x->2^x et x->5^x sont 2 solutions libre de l'espace (vectoriel) des solutions
ma question est alors comment trouver la dimension de l'espace d'arrivée ou sinon montrer qu'il est de dimension infinie?

Bonjour, et bienvenue.

Je ne comprends pas pourquoi tu dis ne pas comprendre pourquoi nous n'obtenons pas le même résultat.

Je dis que la solution générale est f(x) = g(x-[x]) 5^[x] + (5^[x] - 2^[x]) 2^(x-[x]) k(x - [x])
avec k(x) quelconque continue sur[0,1] telle que k(0) = k(1) et g(x) quelconque définie sur [0,1] continue et telle que g(1) = 5g(0) + 3k(0)

Si on suppose x = n entier, on a f(n) = g(0) 5^n + (5^n - 2^n) k(0) = (g(0) + k(0))5^n + (-k(0)) 2^n, ce qui est bien de la forme a5^n + b2^n que tu trouves.

Par ailleurs, 5^x et 2^x sont bien deux solutions libres (que je désigne en 4.1 et 4.2). Tu as parfaitement raison.

Cependant, là, le R-espace vectoriel de solutions est de dimension infinie. Je ne pense pas qu'il y ait de démonstration immédiate de ceci. Moi, je le vois en fonction de la solution générale.
Tu peux auusi dire que tu peux trouver des solutions prenant n'importe quelles valeurs (respectant la continuité) sur [0,1] par exemple.

--
Patrick

oui désolé, en fait je n'avai pas assez poussé mes calculs
je trouve en fait

3*f(x+n)=(5*f(x)-f(x+1))*2^n + (f(x+1)-2*f(x))*5^n

c'est à dire qu'il suffit de choisir g une fonction de continu (ou Ck) de [0,2]
et de poser

3*f(X)=(5*g(X-E(X))-g(X-E(X)+1))*2^E(X) + ((g(X-E(X)+1)-2*g(X-E(X)))*5^E(X)

et donc si on veut que f soit C0 il suffit d'avoir la condition
g(2)=7g(1)-10g(0)
si on veut C1
g'(2)=7g'(1)-10g'(0)
et ainsi de suite

d'ailleur ca se programme bien sur Maple (language de programmation mathématique) et ça sort des courbe assez impressionnantes
Ex:
- x+5/4 (C0)
- x^2+5/2*x+31/8 (C1)
- 2^x et 5^x (C infini)

la dimension de l'espace des solution est bien donc infini