les farctions de l'unité

soit l'equation d'inconnus (a1,...,ak) apartient à N^k et a1<=...<=ak

1/a1+...+1/ak=1/m (m est un entier)

soit T(k,m) le nombre de solutions de cette equation


1) montrer que T(2,m)= le nombre de diviseurs positive de m

2) calculer T(k+1,m) on fonction des T(p,m) tel que (k+1)<=p<=2k

@b):
je ne comprends pas une partie: on doit calculer T(k+1,m) à partir de T(k+1,m), ... , T(2k,m) ? donc, spécialement: à partir de T(k+1,m)?
Curieux..

@a):
T(2,2) = 2 est ce qu'on doit prouver? Mais: il y a une solution 1/4+1/4=1/2, et pour chaque autre solution (a,b), (b, a) est aussi une solution -> il y a un nombre impair de solutions?

T(2,2) = 2 car il y a deux solution
(2,2) et (3,6)
et on a pas le droit de dire que (6,3) et une solution
car les solution sont de la forme (a1,...,ak) apartient à N^k et a1<=...<=ak
3<6 donc on va compter (3,6) et pas (6,3)

1)
soit x et y tel que x<= y
on veut calcule le nombre de couple (x,y) avec x<= y et 1/x+1/y=1/m
mx+my-xy=0
et on a (x-m)(m-y)=mx+my-xy-m²=-m²
donc (x-m)(y-m)=m²
puisque 0<x-m<=y-m
donc m²=(x-m)(y-m)>=(x-m)²
donc m>=x-m
alors a chaque fois qu'on (x-m) prend la valeur d'un diviseur de m,on trouve une solution
donc T(2,m)>=le nombre de diviseurs positive de m
contre exemple T(2,6)>le nombre de diviseurs positive de 6
(7,42),(10,15),(9,18),(8,24),(12,12) 5 couples
donc T(2,6)=5 or le nombre de diviseurs positive de 6=4

moi j'ai trouvé que T(2,m)=[(le nombre de diviseurs positive de m²)-1]/2 +1
c'est ca la formule
et pour T(2,2)=2
on a le nombre de diviseur de 4 est 3 (3-1)/2 +1=2=T(2,2)
ce exercice est faux