Adhérence de l'ensemble des matrices symétriques

Montrer que l'adhérence de l'ensemble des matrices symétriques de rang n est égale à l'ensemble des matrices symétriques de rang inférieur ou égal à n.

On peut jouer même si on ne prépare pas l'agrégation ?


S1 = ensemble des matrices symétriques
S2 = ensemble des matrices de rang inférieur ou égal à n


Il est clair que S2 est fermé comme intersection de 2 fermés :
- toute limite d'une suite de matrices symétriques est symétrique
- si tous les déterminants extraits de taille n+1 sont nuls alors il en est de même de ceux d'une matrice limite

Il est clair aussi que S1 est inclus dans S2 donc adh(S1) est aussi inclus dans S2.

On prend une matrice de S2, on la diagonalise dans une base ortho, on remplace des valeurs propres nulles par 1/n pour avoir un rang de n et on a une limite de matrices de S1