Bon, je l'ai fait pour des espaces métriques.
Dans ce cas, pour des ouverts, connexité=connexité par arcs, donc on peut se limiter à étudier la connexité. Supposons que A n'est pas connexe. Alors on l'écrit U_1, U_2 (ce qui signifie union disjointe) avec des ouverts non vides U_1, U_2. Je vais écrire f(X,Y) l'intersection de X,Y et g la fonction union. On a alors que g(f(B,U_1), f(B,U_2)) connexe et f(B,U_1), f(B,U_2) des ouverts qui le partitionne et qui sont disjoints. Donc un est vide, supposons f(B,U_1). Or, g(g(B,U_2), U_1) donne encore une partition avec des ouverts disjoints, donc un est vide. Cela est impossible, car ni U_1 ni U_2 n'est vide.