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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui


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MessageSujet: AnB et AUB connexes   AnB et AUB connexes EmptyLun 30 Jan 2006, 22:11

Soient A et B deux ouverts d'un espace E, tels que AnB et AUB soient connexes par arcs. Montrer que A et B sont connexes par arcs. Montrer le même résultat en remplaçant "connexe par arcs" par "connexe".
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mathman
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MessageSujet: Re: AnB et AUB connexes   AnB et AUB connexes EmptySam 03 Juin 2006, 14:00

C'est dans un espace métrique, non?
Enfin, j'espère, parce que j'ai toujours travaillé qu'avec des espaces métriques, donc sinon je demande des définitions....
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mathman
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MessageSujet: Re: AnB et AUB connexes   AnB et AUB connexes EmptyLun 05 Juin 2006, 08:16

Bon, je l'ai fait pour des espaces métriques.
Dans ce cas, pour des ouverts, connexité=connexité par arcs, donc on peut se limiter à étudier la connexité. Supposons que A n'est pas connexe. Alors on l'écrit U_1, U_2 (ce qui signifie union disjointe) avec des ouverts non vides U_1, U_2. Je vais écrire f(X,Y) l'intersection de X,Y et g la fonction union. On a alors que g(f(B,U_1), f(B,U_2)) connexe et f(B,U_1), f(B,U_2) des ouverts qui le partitionne et qui sont disjoints. Donc un est vide, supposons f(B,U_1). Or, g(g(B,U_2), U_1) donne encore une partition avec des ouverts disjoints, donc un est vide. Cela est impossible, car ni U_1 ni U_2 n'est vide.
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