2n+1 réels égaux

Soient x_1,..., x_(2n+1) des réels tels que, dès que l'on en retire un, on peut partager les 2n restants en deux groupes
de n, avec les sommes sur chacun des groupes égales. Montrer qu'ils sont tous égaux.

On a à résoudre :

A*x = 0

Avec A une matrice de taille 2n+1 x 2n+1, de diagonale nulle et dont tous les autres éléments sont 1 ou -1.

On sait que t_(1,1,...,1) est solution (cas évident où tous les éléments sont égaux) et on veut montrer que c'est le seul, i.e que A est de rang 2*n

Montrons que le B = mineur(1,1) a un déterminant impair (et donc non nul).
On ne change pas la parité du déterminant en remplaçant les -1 en +1

Mais alors (I+B)² = 2n*B et donc B*((2n-2)I+B) = (2n-1)I ce qui prouve que det(B) est impair.