arthimitrique

Trouver les couples (a , b) d'entiers naturels tels que 0 < a < b dont le PGCD d et le PPCM m vérifient :
2m + 3d = 78 et tels que a ne soit pas un diviseur de b.

slt
ce genre d'equations est tres classique on pose a=da' et b=db' on a m=da'b' on remplace dans l'equation initiale on factorise par d et on conclus

wiles a écrit:

slt
ce genre d'equations est tres classique on pose a=da' et b=db' on a m=da'b' on remplace dans l'equation initiale on factorise par d et on conclus

ouais exactement

On peut commencer par remarquer que d est < m et sont tous deux >0.
Donc, s'ils vérifie 2m + 3d = 78 alors on doit avoir d < 27.
Si on pose a' et b' définis par : a = a'.d et b = b'.d, on sait que, d étant le PGCD de a et b alors a' et b' sont premiers entre eux.
Comme PGCD(a,b).PPCM(a,b) = a.b, on en déduit que :
m = a'.b'.d
L'équation peut alors s'écrire: d(2a'.b' + 3) = 78.
Comme (2a'.b' +3) est impair, d est pair et doit être un diviseur de 78 inférieur à 27.
Donc, d = 2 ou 6.
Si d = 2 alors (2a'.b' + 3) = 39 et a'.b' = 18.
Comme a' et b' sont premiers entre eux, on a:
(a' = 1 et b' = 1 ou (a' = 2 et b' = 9).
D'où (a = 2 et b = 36) ou (a' = 4 et b' = 1 (on a a < b).
Comme a ne doit pas diviser b, la première solution n'est pas
envisageable.
Si d = 6 alors (2a'.b' + 3) = 13 et a'.b' = 5.
D'où a = 6 et b = 30. Mais a ne doit pas diviser b donc cette
solution n'est pas acceptable.
Seule solution {(4 , 1)}

sauf ereur

voila ma methode
poson
a=dx et b=dy / x^y=1
alors
2dxy+3d=78
alors
d(2xy+3)=78
donc
d=1 ou d=2 ou d=13 ou d=39ou d=78

si d=1
alor 2xy=75 impossible

si d=2
alor xy=19
si d=13
alor xy=5
si d=39
2xy=-1 impossible
si d=78 meme chose
donc
xy=5 ou xy=19
il ne reste q checher les nombre premiers verifian x<y et

xy=5 ou xy=19

et de multiplier les resultat par d


je pense q cela va marcher sauf erreur