un comapct de l^1(IR)

Soit (a_n) une suite de réels >=0.
Soit A={(u_n) de l^1(IR) / |u_n|=<a_n pour tout n}
Montrer que A est compact ssi \sum a_n<+00

N.B: l^1(IR) est l'e.v.n des suites (u_n) tells que :
||(u_n)||= \sum_|u_n|<+00.

Si \sum a_n=+00, alors la suite (u(m) ) d'éléments de A définie par :
u(m)=(u(m,n)) avec u(m,n)=a_n si n=<m et u(m,n)=0 sinon, ne peut avoir de valeur d'adhérence. Car ||u(m)||= a_0+a_1+...+a_m ---> +00.

Si \sum a_n < +00, alors pour tout eps>0, il existe N tel que

a_(N+1)+a_(N+2)+......<eps

Soit A_N={ x=(x_1,...,x_N) de IR^N / |x_i|=<a_i pour 1=<i=<N}. Il est clair que A_N est un compact de IR^N muni de la norme || ||_1. Il existe alors une partie finie F de IR^N telle que A_N est contenue dans la réunion des boules de IR^N, B(u,eps) où u décrit F.

Donc A est contenue dans la réunion des boules de l^1(IR), B(v,2eps)
où v décrit E où E est la partie finie
E={v=(v_n)/ (v_1,..,v_N) dans F et v_n=0 pour n>N}
Donc A est précompact. Comme A est fermée (donc complet)
A est compact