\pi² est irrationnel

Montrer que est irrationnel

Franchement celui qui arriverait à montrer cela sans connaissances préalables .....

Il a fallu ~2000 ans pour montrer que pi était irrationnel !


Il y a une superbe démo dans le livre "Raisonnements divins"

Peux-tu présenter les grandes lignes ( sous forme de questions) cette superbe démonstration ?

Je n'ai pas le livre là sous la main mais j'essaierai de l'emprunter la semaine prochaine.

Bon supposons pi = a/b alors soit Pn(x)= x^n (bx-a)^n /n!

on voit zézaiement que Int [0, pi] Sin(x)Pn(x) est un entier qui tend vers 0 et qui est strictement positif....ce qui est dur !

(lolo sans bouquin....mais bon j'en connais peu ainsi)

http://mpsiddl.free.fr/pdf/pb/pb094.pdf

Partie 1:

soit (Un) une suite numérique et x un réel strictement positif tel que:

Un>0 et pour tout n£N Un+1/Un=x/n+1

1) montrer qu'il existe un entier n0 tel quel la suite (Un)n>=n0 est décroissante

2) En déduire que la suite (Un) admet une limite l>=0

3) En raisonnant par l'absurde ,montrer que l=0

4) En déduire que pour tout réel strictement positif lim x^n/n!=0
n==>00

slt voici une demo
http://www.mcs.csuhayward.edu/~malek/Mathlinks/Pi.html

bon alors, sans passer par l'irrationalité de pi.

Par l'absurde, supposons que Pi² est rationnel:
Pi² = p/q avec p et q premiers entre eux, p dans Z et q dans N*

Alors le polynôme qX² -p à coefficients entiers s'annule en Pi démontrant ainsi que Pi est algébrique ce qui est absurde.

La même démonstration permet de montrer que tout polynôme à coefficients rationnels en Pi est forcément un nombre irrationnelle.

Ps : la transcendance de Pi est une conséquence du puissant théorème de Hermite-Lindemann : a algébrique =>expa transcendant

par l'absurde si Pi est algébrique, comme i l'est aussi et que l'ensemble des nombres algébriques est un sous-corps de C, on a i.Pi algébrique et d'après le théorème alors exp(iPi)=-1 trancendant ce qui est absurde.

une petite remarque pour Pelikano il suffit de prendre les nombres p et q dans N et N* (resp.) car Pi²>0.
merci

pelikano a écrit:

bon alors, sans passer par l'irrationalité de pi.

Par l'absurde, supposons que Pi² est rationnel:
Pi² = p/q avec p et q premiers entre eux, p dans Z et q dans N*

Alors le polynôme qX² -p à coefficients entiers s'annule en Pi démontrant ainsi que Pi est algébrique ce qui est absurde.

La même démonstration permet de montrer que tout polynôme à coefficients rationnels en Pi est forcément un nombre irrationnelle.

Ps : la transcendance de Pi est une conséquence du puissant théorème de Hermite-Lindemann : a algébrique =>expa transcendant

par l'absurde si Pi est algébrique, comme i l'est aussi et que l'ensemble des nombres algébriques est un sous-corps de C, on a i.Pi algébrique et d'après le théorème alors exp(iPi)=-1 trancendant ce qui est absurde.

Quelle puissante démo !! Je t'admire