x^y >= y^x hard

resoudre dans R²

x^y >= y^x

Bonjour Conan,

Conan a écrit:

resoudre dans R²

x^y >= y^x

Il faut se placer dans R+*^2 pour que l'expression ait un sens.
Alors, x^y >= y^x <=> yln(x) >= xln(y) <=> ln(x)/x >= ln(y)/y <=> x >= y puisque f(x)=ln(x)/x est croissante.

La réponse est donc : x>= y

--
Patrick

Bonjour

(*)0< y <= x <= e
(*) e<= x<= y
(*) x>=1 et 0<y<1

pco a écrit:

Bonjour Conan,

Conan a écrit:

resoudre dans R²

x^y >= y^x


8)

Il faut se placer dans R+*^2 pour que l'expression ait un sens.
Alors, x^y >= y^x <=> yln(x) >= xln(y) <=> ln(x)/x >= ln(y)/y <=> x >= y puisque f(x)=ln(x)/x est croissante.

La réponse est donc : x>= y

--
Patrick

prend par exemple 4 >= 3 mais 4^3 = 54 < 3^4 = 81

khamaths a écrit:

Bonjour

(*)0< y <= x <= e
(*) e<= x<= y
(*) x>=1 et 0<y<1

et le cas de (3,2) par excemple 3^2 > 2^3

Conan a écrit:

pco a écrit:

Bonjour Conan,

Conan a écrit:

resoudre dans R²

x^y >= y^x


8)

Il faut se placer dans R+*^2 pour que l'expression ait un sens.
Alors, x^y >= y^x <=> yln(x) >= xln(y) <=> ln(x)/x >= ln(y)/y <=> x >= y puisque f(x)=ln(x)/x est croissante.

La réponse est donc : x>= y

--
Patrick

prend par exemple 4 >= 3 mais 4^3 = 54 < 3^4 = 81

si t'utilise la calculatrice ca sera mieux mon ami:lol!:

BeStFrIeNd a écrit:

dzl faute de frappe
le reponse c x=

pas du tout, prend par exemple (2,3) on a 2^3 = 8 < 3^2 = 9

Bonjour à tous,

Je me suis effecivement trompé dans ma réponse : f(x)=ln(x)/x n'est pas une fonction croissante sur R.

Pour x et y dans R+*, x^y >= y^x <=> ln(y)/y >= ln(x)/x

J'appelle ci-dessous g(x) (de ]1,+oo[ dans ]1,+oo[) qui à tout x de ]1,+oo[ différent de e associe l'unique solution différente de x de l'équation x^y = y^x et telle que g(e)=e. Alors :

1) 0 < x <= 1 : x <= y (car ln(x)/x croît sur 0 à 1)
2) 1 < x <= e : x <= y <= g(x)
3) e <= x : g(x) <=y <= x

--
Patrick

ona
x°y=y°x
donc
x°y(1-y°(x-y))=0
on obtient
x=0ou 1-y°(x-y))=0
donc la solution est
x=y

mni a écrit:

ona
x°y=y°x
donc
x°y(1-y°(x-y))=0
on obtient
x=0ou 1-y°(x-y))=0
donc la solution est
x=y

C'est une inéquation mon pote

a wé dsl