inégalité(ex1TST N°2 olym Maroc niveau premiere S)

c'est l'exo 1 du TST N°2 d'olympiade du maroc Niveau première S



c'est trés facile . on espère avoir plus qu'une methode pour le résoudre

En voilà toujours une :

a²+1 >= 2a
x+1/x >= 2

égalité ssi a=b=1

une autre solution? je crois pas que ça existe...bref toutes les solutions reviennent au même , par exemple l'arithmetico geometrique lol!

ahhhh les exercices de 1S commencent à tomber......j'ai de quoi me regaler!

voici une autre démo directe

a(a²+1)+b(b²+1)-4ab= a(a-1)²+b(b-1)²+2(a-b)² >=0

A+

ona



=4

premiere:inégalité de tchybechev
(a²+1)/b+(b²+1)/a>=1/2(a²+b²+2)(1/a+1/b)
>=1/2*2(a+b)(1/a+1/b)
>=4
deuxieme methode:inégalité de jensen
je considere la fonction f(x)=(x²+1)/(s-x) ou s=a+b
la fonction f est convexe d ou
1/2(f(a)+f(b))>=f((a+b)/2)=(s²/4+1)/(s-s/2)
f(a)+f(b)>=(s²+4)/s>=4s/s=4
d ou f(a)+f(b)>=4

vous avez vu .l'exercice a admis plus qu'une solution

ba nivo

a²+1/b + b²+1/a>=2rac[(a²/b+1/b)(b²/a+1/a)]
=2rac(a/b+b/a+1/ab+ab)>=2rac{4}=4
d ou le résultat