point fixe d'une fonction complexe

Soit f:C -->C continue de limite nulle quand z-->00.
Montrer que f admet un point fixe

J'essaye de trouver un résultat plus général, sur des opérateurs monotones dans un espace de Hilbert, ou quelque chose comme ça.

Bref, pour ce problème, on regarde x -> f(x) - x.
Si x est sur une grande sphère, et que l'on se débrouille pour que la restriction de cette application prenne ses valeurs sur cette même sphère, alors elle devra être homotope à l'identité et donc elle sera de degré 1.
D'un autre côté, cette application de la grande sphère vers elle-même peut être étendue à C tout entier (ou R^n; la dimension ne fait aucune différence), donc elle doit être de degré 0.
Contradiction.
(Si l'on suppose que f(x)-x est toujours différente de 0.)

Par hypothèse f(C)c D(r) disque de centre 0 et de rayon r.
Alors la restriction de f à D(r) est à valeurs dans D(r). Un corollaire du théorème de Brower permet de conclure