compact de l²(IR)

Soit E=l²(IR) l'evn des suites réelles à carrées sommables muni de la norme ||(x_n)||=\sum (x_n)².
Etudier la compacité des ensembles suivants :
1) {x=(x_n) € E/ ||x||=<1 }
2) {x=(x_n) € E/ \sum (nx_n)²=<1 }
3) {x=(x_n) € E/ \sum (a_nx_n)²=<1 } avec (a_n) suite de réels >0.

1) compact
2) compact, je crois
3) vraisemblablement pas compact (a_n = 1/n^3 ou un truc du genre devrait poser des problèmes vu que dans ce cas x_n peut diverger)

1) Non. La boule unité n'est pas compacte sinon E seait de dimension finie ( th. de Riesz)
2) oui
3) Chercher une condition sur la suite (a_n) pour qu'il soit compact

abdelbaki.attioui a écrit:

1) Non. La boule unité n'est pas compacte sinon E seait de dimension finie ( th. de Riesz)

Bah lol évident.
Les suites ayant des 1's à la n-ième place et des zéros ailleurs n'ont pas de points d'accumulation.

abdelbaki.attioui a écrit:

3) Chercher une condition sur la suite (a_n) pour qu'il soit compact

Hmm je crois que a_n --> oo devrait le faire.
(c'est clairement nécessaire par 1) )

mathman a écrit:

Bah lol évident.
Les suites ayant des 1's à la n-ième place et des zéros ailleurs n'ont pas de points d'accumulation.

Compact ce n'est pas dénombrablement compact

mathman a écrit:

Hmm je crois que a_n --> oo devrait le faire.
(c'est clairement nécessaire par 1) )

Essayer de montrer que c'est compact avec cette condtion.
Puis avec (a_n) non bornée

Hmm (a_n) non-bornée est ce que j'avais en tête en fait.

abdelbaki.attioui a écrit:

mathman a écrit:

Bah lol évident.
Les suites ayant des 1's à la n-ième place et des zéros ailleurs n'ont pas de points d'accumulation.

Compact ce n'est pas dénombrablement compact

Que veux-tu dire?
Pour les espaces métriques, la compacité est équivalente à "toute suite a une sous-suite convergente" (ou peut-être ai-je tort)

Ah oui au fait, (a_n) non-bornée n'aide pas.
Il faut vraiment que a_n --> oo.
En fait, s'il y avait une infinité de a_n<C pour un certain C, alors les suites qui sont égales à 0 partout sauf en une position où a_n<C où elles seraient égales à 1/C se trouveraient toutes dans cet espace mais n'auraient pas de point d'accumulation.

avec (a_n) non bornée c'est compact. L'exemple donné n'est pas correct

mathman a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

mathman a écrit:

Bah lol évident.
Les suites ayant des 1's à la n-ième place et des zéros ailleurs n'ont pas de points d'accumulation.

Compact ce n'est pas dénombrablement compact

Que veux-tu dire?
Pour les espaces métriques, la compacité est équivalente à "toute suite a une sous-suite convergente" (ou peut-être ai-je tort)

C'est juste. ( seulement pour les metriques)