dimension maximal d' un ev ne contenant aucune matrice inver

prouver que la dimension maximal d' un ev ne contenant aucune matrice inversible est n(n-1)

sup oujda

dsl j'ai oubliè de dire que n est la dim de M_n(k)

sup oujda

n^2 est la dim de M_n(k)

sup oujda

Déjà, il est clair que cette dimension est >= n(n-1), en considérant par exemple l'ensemble des matrices dont la dernière colonne est nulle.

Ensuite, on peut de manière encore plus générale déterminer la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de M_n(K) dont tous les éléments sont de rang inférieur à p. (il suffira alors de prendre p = n-1 pour obtenir le théorème énoncé par samoudi)
Comme on s'y attend, cette dimension maximale est : np.

la question reste toujours ouverte

sup oujda

hint: les seuls formes linears de M_n(K) est a cette forme:f(X)=tr(AX). et que dim(ker(f))=n^2 -n)