equa-fonctionnell

say . j'ai terminer ma preuve . vous pouvez la voir dans le premier post dans la page 2 .

Bien joué othman kan meme

otman4u a écrit:

Raa23 a écrit:

il suffit k'une fonction vérifie la propriétée pour qu'elle soit solution particulier
y a pas besoin de preuve ni de rien du tout
le fait k'elle vérifie l'equation est une preuve en elle meme

maiiis comca on n'arrivera jamais a resoudre l'equation..!!!!!!
mém si l'identité etait la seul solution on doit le prouvez.
le fait de parcourir a une methode c'est de montrer que la ou les solutions trouver sont les seules ...et pas on met au hassard une solution et on voie s'il vérifie l''equation. on ne fera jamais comca l'exo!!!!!!

dsl de te contredir encor mais tu ne fais pas la différence entre l'existance et l'unicitée
la solution identitée existe mais n'est pas forcément unique
pour l'existance d'une solution particuliere il suffit de montrer qu'elle vérifie l'equation

et c'est ca ce que j'ai dis , révise mais postes .
j'ai dit:mém si l'identité etait la seul solution on doit le prouvez.
donc j'ai dit on doit prouver sa solicité et non pas son existence!

la preuve de l'existence n'est pas suffisante pour résoudre l'exercice.

Bonsoir ;
une autre preuve sans l'aide de cauchy:

f(y+f(y))=2y+f²(0)
l'application IR-->IR , y-->2y+f²(0) étant clairement surjective (voir même bijective) on conclut que f est surjective.
soit b£IR tel que f(b)=0
f(b+f(b))=f(b)=0=2b+f²(0) donne b=-f²(0)/2
et comme on a aussi f(-b)=0 (puisque f²(b)=f²(-b))
on voit que -b=-f²(0)/2 d'où f(0)=0 (et même que f ne s'annule qu'en 0).
on en tire tout de suite que pour tout réel x on a f(x+f(x))=2x et f(x²)=f²(x)
en particulier f est positive sur IR+ et f : IR+ --> IR+ est surjective.
soit x , y deux réels positifs tels que f(x)=f(y)
en écrivant y+x+f(x)=x+y+f(y) et en appliquant f on voit que
2x+f²(Vy)=2y+f²(Vx) c'est à dire que x=y
la restriction de f à IR+ est une bijection de IR+ dans lui-même.
si on note g sa bijection réciproque et I l'identité de IR on voit que
fo(I+f)=2I et donc I+f=go(2I)
l'application I+f : IR+-->IR+ et donc aussi bijective.
si x,y réels positifs on peut donc trouver z tel que x=z+f(z) d'où
f(x+y)=f(y+z+f(z))=2z+f²(Vy)=f(z+f(z))+f(y)=f(x)+f(y)
(remarquer que cela implique que f : IR+-->IR+ est croissante)
d'où pour tout réel positif x :
f(x+f(x))=f(x)+f(f(x))=2x
f(x)>=x => f(f(x))>= f(x)>=x d'où f(x)+f(f(x))>=x+f(x)>=2x
f(x)=<x => f(f(x))=< f(x)=<x d'où f(x)+f(f(x))=<x+f(x)=<2x
d'où f(x)=x pour tout réel postif x
soit maintenant y<0 , avec x=-y>0 on a
f²(y)=f²(-x)=f²(x)=x²=y² d'où f(y)=y ou f(y)=-y
mais f(y)=-y => y+f(y)=0 => f(y+f(y)=0 => y=0 (absurde)

Conclusion :
L'unique application f : IR --> IR vérifiant :
f(x²+y+f(y))=2y+f²(x) pour tous réels x et y est l'identité de IR (sauf erreur bien entendu)

Jolie preuve Mr elhor , (les etapes que vous avez suivez sont bien calcule°s)

Merci Mr selfrespect

J'ai vraiment aimé votre Methode precise Mr;elhor_abdelali
merci

C'est un plaisir de servir Mr BeStFrIeNd

La preuve de Mr Othman4u est incomplète.Le fait que f(x) soit de cauchy implique que f(x)=f(1)x seulement dans Q et non dans R.
Un contre exemple simple: prendre f(x)=f(1)x ds Q et pour a et b rationnels f(a+bV2)=(a-bV2)f(1) et les autres reels r , f(r)=f(1)r

Mais pour avoir f(x)=f(1)x sur R il faut en plus:
1)f(x) continue
ou
2)f(x) croissante ou decroissante
Ou
3) l'ensemble {f(x)/x, x ds R*} est fini


Les deux premiers cas sont faciles à prouver et je vous propose comme exercice le troisième cas.
Montrer que si f(x) est de cauchy et l'ensemble {f(x)/x, x ds R*} est fini alors f(x)=f(1)x sur R

Mr kaderov
n'oublie pas que f(x²)=f²(x)

Effectivement avec cette relation on peut facilement montrer que f est croissante,mais dans ta preuve je n'ai pas vu mentionner la croissance de f!
Et crois moi, le correcteur ne complèterait jamais la preuve à ta place!

Mr kaderov . autremant :
avec cauchy on a f(x)=ax . avec f(x²)=f²(x) <=> ax²=a²x²
en exluant le cas de x=0 et a =0 (tu peux verifier) <=> a=1

Non Mr Otman4u je crois que tu m'as mal compris!
Ce que tu as montré est le suivant,
f(x)=f(1)x pour x dans Q.
Pour passer à IR il faut utiliser f(x^2)=f(x)^2>=0
Cette equation nous dit que si u>=0 alors f(u)>=0
Il suffit de poser u=x-y>=0 ona f(u)=f(x-y)=f(x)-f(y)>=0 et alors f est croissante.
Et ce n'est que là que tu peux conclure que f(x)=f(1)x pour tout x dans IR.
Puis chercher la valeur de f(1).