assistance urgente

trouver toutes les valeurs possibles de k tel que l’inégalité suivante est vérifiée pour tout x, y et z de IR.
2(x^3+y^3+z^3) +3(1+3k) xyz>= (1+k)*(x+y+z)*(xy+yz+zx)

je crois qu il nexiste pas de tel nombre , pour tt (x,y,z) de R^3

boukharfane radouane a écrit:

pourquoi selfrespect?

j'ai fait une disjonction de cas
** <==> 2(x^3+y^3+z^3-3xyz)>=(k+1)((x+y+z)(xy+zy+zx)-9xyz)
*si k<-1
soit x=y<0 et z=0 ** devient kx^3=<0 absurde
*si k=-1
prenons , x<0 et y=z=0,
*si 0>k>-1
prenons x=y>0 et z=0
on a 4x^3>=(k+1)(4x^3) ==> kx^3=<0 absurde
...
OU BIEN
pon peut considerer y=z=0
on a pour tt x de R ,2x^3 >=0 ce qui nest pas juste

j'ai oublier d'ajouté un + devant IR? Pardon!

khadija-daria a écrit:

j'ai oublier d'ajouté un + devant IR? Pardon!

ok!!, je crois que k=<1 ,
je ne suis pas sur !

khadija a dit!:
j'ai oublier d'ajouté un + devant IR? Pardon!

mnt les choses sont claires,
Si on pose x=y=1 et z=0 on obtient 4>= (1+k)*2 => k=<1.
On va démontrer que les valeurs possibles de IR appartient à]-infini, 1].
Pour k=1, l’inégalité devient x^2+y^3+z^3+6xyz >= (x+y+z) (xy+yz+zx)
<=> x^3+y^3+z^3+3xyz-x (xy+xz)-y (yx+yz)-z (zx+zy)>=
<=>x*(x-y)*(x-z) +y*(y-x)*(y-z) +z*(z-x)*(z-y)>=0
Ce qui est vraie grâce à l’inégalité de Schur.
Pour k<1, il est évident que la valeur maximale de k est 1, ce qui nous permet d’écrire :
2(x^3+y^3+z^3 >= 2(x+y+z) (xy+yz+zx)-12xyz >= (1+k) (x+y+z) (xy+yz+zx)-3(1+3k) xyz
<=>(1-k)(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz (3-3k)>=0
<=>(1-k)((x+y+z) (xy+yz+zx)-9xyz)>=0
<=>(x+y+z) (xy+yz+zx)-9xyz>=0 (car comme on a supposer que k<1)
<=>(x+y+z) (1/x+1/y+1/z)>9
Ce qui comme on sait vrai grâce aux théorèmes des milieux.
Donc la démonstration est achevée.[/i][/b]

ok ;merci

selfrespect a écrit:

khadija-daria a écrit:

j'ai oublier d'ajouté un + devant IR? Pardon!

ok!!, je crois que k=<1 ,
je ne suis pas sur !

slt, voiçi ma demarche
** <==> 2(x^3+y^3+z^3-3xyz)>=(k+1)((x+y+z)(xy+zy+zx)-9xyz)
pour x=y et z=0
on a poutr tt x de R+
4x^3>=2(k+1)x^3 ==>(1-k)x^3>=0
==> k=<1
sauf erreure biensur