la suite ((sin(nu),sin(nv))_n

Donner une CNS sur les réels u et v pour que la suite ((sin(nu),sin(nv))_n
soit dense dans [0,1]².

Juste pour savoir déjà : p*u + q*v != pi pour tout (p,q) dans Q² ?

oui. Plus general, {u,v,\pi} Q-libre dans IR

Ok merci. On sent bien qu'il faut utiliser la caractérisation de sous-groupes fermés de R², non ??

Oui bien sur . Il ya une belle démo de la caractérisation des ss gpes additifs de IR^n dans BOURBAKI éléments d'analyse livre III.

Dieudonné, Bourbaki, .... Abdelbaki Attioui a toutes les plus prestigieuses références !

Attention tµtµ tu dis des choses qui n'ont rien avec les maths. Ce n'est pas un prestige de lire un livre ou de le feuilleter. Loin de là c'est juste là où je fais mes études il y a une bibliothèque comme toute établissement de formation. La seule difference, c'est le choix de ce qu'on va lire.
En ce qui me concerne, j'ai une tendance bourbaquiste là où je trouve tous ce que j'en ai besoin. voilà

J'ai voulu te rendre service en te montrant la référence Hélas j'ai fait peut-etre une erreur.

Ca m'apprendra à vouloir faire un compliment ! Qui a prétendu que le langage était fait pour communiquer ?

Si j'ai froissé Abdelbaki Attioui c'est bien involontairement .....

abdelbaki.attioui a écrit:

Plus general, {u,v,\pi} Q-libre dans IR

Ouaip.
C'est clairement nécessaire...
Et s'ils sont linéairement indépendants, alors ({n/pi u}, {n/pi v}) est dense dans [0; 1]; cela découle du même argument que dans le cas à 1 dimension.

EDIT: hmm, c'est vrai ça? (ce que j'ai mis en vert)

Hmm je pense que j'ai un argument assez compliqué.
(qui marche pour toutes les dimensions)

[Bon, là je dois aller manger; je verrai ça après.]

EDIT: effectivement, mon truc marche; mais c'est assez long, donc sauf si quelqu'un veut vraiment la voir, je me permets de garder ma preuve égoïstement.

Il est necessaire de caractériser les sous-groupes additifs de IR²!

lol, ça serait difficile.

Les sous-groupes additifs de R² peuvent être très.. "sauvages"... par exemple tout graphe d'une fonction non-continue telle que f(x+y)=f(x)+f(y) est dense dans le plan mais pas tout le plan...

abdelbaki.attioui a écrit:

Il ya une belle démo de la caractérisation des ss gpes additifs de IR^n dans BOURBAKI éléments d'analyse livre III.

Hmm ok, en utilisant l'axiome du choix, c'est bien sûr possible, mais ça n'aide pas beaucoup.

Tout sous groupe additif de IR² est de la forme aZxbZ à vérifier!

Seulement les discrets.
(ce qui signifie qu'un voisinage de 0 contient seulement l'élément 0 du sous-groupe additif)
Bon bien sûr aZ et 0 sont aussi des sous-groupes additifs discrets, mais c'est tout.

Oui, mais reste à le prouver!

Facile par récurrence sur la dimension.

Allez, cette fois je vais essayer de ne pas utiliser mon appareil photo..

Donc, soit M un sous-groupe additif discret de R^n.
Choisissons un vecteur x dans M; prenons lambda>0 minimal avec lambda x dans M (il existe à cause de la discrétion).
Soit N le groupe engendré par lambda x et N' la droite sur laquelle N se trouve.
Alors M/N est un réseau discret dans R^n/N'.
On peut maintenant y aller par récurrence.