2 teste d'olympiade

voici le 2 teste des olympiades déstinées aux éleves de ma première année sciences maths 2004.

Pour le 1er exercice:
#on a x+y+xy=19 et y+z+yz=11<==> x-z+xy-yz=8<==>(x-z)(y+1)=8<==> x-z=8/y+1 (1)
# et on a x+y+xy=19<==> x(1+y)+y+1=20 <==>(1+y)(x+1)=20
<==>1+y=20/(x+1) en remplacant dans (1) on aura 2x+2=5x-5z
d'où x=(2+5z)/3 (2)
#on a z+x+xz=14 <==> z +(2+5z)/3 +z*(2+5z)/3 -14=0 <=>...<=>z=2 ou z=-4

Si z=2 : x=(2+5z)/3=4 et on a y=20/(x+1) -1=3
donc S1=(4,3,2)
Si z=-4 ;on aura aprés les meme étapes S2=(-6,-5,-4)
aprés disscution des autres cas on trouveras que
S={(4,3,2),(-6,-5,-4)}
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oui je trouve que c'est juste

pour le 4eme exo , voila , on a :

1/2 * 3/4* 5/6 *..*99/100 = X

et : 2/3 * 4/5 * 6/7*..*100/101 = y

on a : X < Y <=> X² < XY <=> X² < 1/101 donc

X² < 1/100 donc

X < 1/10

sans

salut ! pour le 2° exo :
Le trapèze que j'ai considéré a comme bases [AB] et [DC], on peut utiliser la meme méthode pour [BC] et [AD] :

On pose F = (DN) ^ (AB)
selon Thalès : NB/NC = NF/ND = BF/DC = 1 <==> BF = DC et N est le milieu du [DF]
On a aussi : PM/PA = DM/AF = 1/4 <==> DM = AF/4
D'où 2DM = AF/2 <==> BF = AF/2 <==> B est le milieu de [AF]
D'où le résultat (sauf erreur bien entendu)