exo: polynome (facile)

on considère un polynome : P(x)=[(x-2)^3n] +[(x-1)^2n] -1
n£N*
1)a) prouvez qu'il existe un polynomeQ(x) pour: P(x)=(x-2)Q(x)
b)trouvez le degrès de Q(x)
2)calculez P(1) en fonction de n et trouvez la valeur de n pour que P(x) soit divisible par (x-1)
3)considérons que n=1
prouvez que P(x)=(x-2)[(x-3/2)²+7/4] . (déduire le signe de P(x)
4) prouvez que pour tt x de ]2,+l'infinie[et pour tt n de N* que : P(x)>0

bonne chance
NIVEAU TC

pour la 1ere :

racin du polynome : 2
alors:
P(x)=(x-2)Q(x)

d°Q(x) = 3n-1

pour la 2eme:

P(1)= (-1)^3n -1

pour que P(x) soit divisible par (x-1) il faut que P(1) = 0 , alors 3n doit etre paire :

n = 2m / m £ IN

tu veux dire n = 2m / m£ IN

relena a écrit:

tu veux dire n = 2m / m£ IN

wé , cé ça relena , thanks !!!

your welcome M et M

m & m a écrit:

pour la 1ere :

racin du polynome : 2
alors:
P(x)=(x-2)Q(x)

d°Q(x) = 3n-1

c bien! juste!! mais essaye stp de poster ta méthode

m & m a écrit:

pour la 2eme:

P(1)= (-1)^3n -1

pour que P(x) soit divisible par (x-1) il faut que P(1) = 0 , alors 3n doit etre paire :

n = 2m / m £ IN

oui c'est ça 3n doit être paire très bien

amino555 a écrit:

m & m a écrit:

pour la 1ere :

racin du polynome : 2
alors:
P(x)=(x-2)Q(x)

d°Q(x) = 3n-1

c bien! juste!! mais essaye stp de poster ta méthode

ya pas de méthode !!!!!
cé directement !!!!
par exemple :

P(x) = 3x^3 - 7x^2 + 4

racine du polynome: 1

alors:
¨
P(x) = (x-1) Q(x)

d°Q =d°P - 1 = 2

Salut !
J'ai l'honneur de terminer :
3- P(x) = (x-2)^3+(x-2)²-1 = (x-2)^3+(x-1+1)(x-1-1)=(x-2)^3+x(x-2)= (x-2)((x-2)²+x)=(x-2)(x²-4x+4+x)=(x-2)(x²-3x+4)=(x-2)(x²-2x.3/2+9/4-9/4+4) = (x-2)[(x-3/2)²+7/4]
signe de P(x) :
Puisque (x-3/2)² +7/4 > 0 pout tout x de IR, on a le signe de P(x) est le meme de x-2
c'est à dire :
*si x £]2;+inf[ on a P(x) > 0
*si x £ ]-inf;2[ on a P(x) < 0
*si x = 2 on a P(x) = 0

(Sauf faute de frappe)

4- P(x)=[(x-2)^3n] +[(x-1)^2n] -1 x £ ]2;+inf[
Puisque x > 0 on a x-2 >0 d'où (x-2)^3n >0
x-1 > 1 d'où (x-1)^2n > 1 <==> (x-1)^2n -1 > 0
donc (x-2)^3n + (x-1)^2n -1 > 0
alors P(x) > 0 pour tout x £ ]2;+inf[ et n de IN*

J'espère que c'est juste