Constance,Continuité...coup..

Bonsoir :

j'ai besoin d'un petit coup de main pour faire cet exercice :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I . supposons que :
Il existe un k appartenant à R pour tout x appartenant à l'intervalle I sachant que : f²(x)=k

1) Prouver que f est constante en I .
2) est ce que cette proprièté reste toujours vraie si I n'était pas inclu dans R .

Merci

1) f^2(x)=k ===> f(x)=-rac(k) ou f(x)=rac(k)

on suppose k il existe x£I tel ke f(x)=rac(k) et il existe x£I tel ke f(x)=-rac(k)

donc f n est po continue sur I or f est continue

ainsi pour tout x£I f(x)=rac(k) ou pour tout x£I f(x)=-rac(k) (le "ou" la est exclusif )

d ou f est constante

JASPER a écrit:

Bonsoir :

j'ai besoin d'un petit coup de main pour faire cet exercice :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I . supposons que :
Il existe un k appartenant à R pour tout x appartenant à l'intervalle I sachant que : f²(x)=k

1) Prouver que f est constante en I .
2) est ce que cette proprièté reste toujours vraie si I n'était pas inclu dans R .

Merci

Bonsoir à Vous Deux , à Toutes et Tous !!!
On exclut le cas k=0 qui est de démonstration évidente !!!
Supposons donc k>0 ;
La relation [f(x)]^2=k sur I exige donc que pour tout x dans I f(x) peut prendre la valeur rac(k) ou -rac(k)
Montrons une propriété très forte sur f à savoir :
Pour tout couple (a,b) dans IxI avec a<>b alors f(a).f(b)>0
Ce qui voudra dire que f(a) et f(b) sont toujours de même signe et ce qui impliquera que l'on a partout sur I
soit f=rac(k)
ou f=-rac(k) .
Démontrons donc ce qui est en ROUGE, par l'absurde :
S'il existait a, b dans I avec a<>b et f(a).f(b)<=0 alors , f étant continue sur I le Th. de la Valeur Intermédiaire entrainerait l'existence d'un c dans I tel que f(c)=0 et de là k=[f(c)]^2=0
Ce qui est exclu !!!!! CQFD
Quant à ta deuxième question : I est un intervalle de IR donc I est inclus dans IR c'est tout !!! Ta question n'a pas de sens!!!
A+ LHASSANE

Merci Messieurs

BOURBAKI a écrit:

Quant à ta deuxième question : I est un intervalle de IR donc I est inclus dans IR c'est tout !!! Ta question n'a pas de sens!!!
A+ LHASSANE

à ce ke je pense Jasper parle des fonctions complexes

si on definit f sur C alors est ce ke cette proprieteva rester valide ou non

JASPER a écrit:

Bonsoir :

j'ai besoin d'un petit coup de main pour faire cet exercice :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I . supposons que :
Il existe un k appartenant à R pour tout x appartenant à l'intervalle I sachant que : f²(x)=k

1) Prouver que f est constante en I .
2) est ce que cette proprièté reste toujours vraie si I n'était pas inclu dans R .

Merci

je crois que tu peux deriver cette fct ==>f=0 ou f'=0 et les deux veulent dire la meme chose (f cte , 0 a rejeter)

BSR !!
Sa fonction f est seulement CONTINUE et vérifie f^2=k sur I ; elle n'est forcément DERIVABLE !!! Du moins , jusqu'à preuve du contraire !
A+ LHASSANE

desolé
je me suis trompé en fait f² derivable =/=> f est derivable

Exemple g(x)=|x| g^2 est dérivable PARTOUT mais g ne l'est pas en 0.
A+

oui c'est ça lexemple qui m'a rebdu conscience

Bonjour:

Concernant ma deuxième question!

Je n'ai pas noté que I appartient à R mais si ce n'est pas le cas la proprièté ne reste pas toujours vraie !
une contraposée: considérons la fonction définie sur R* par:
f(x)=-1 pour tout x<0
f(x)=1 pour tout x>0
f est continue sur R* et on a f²(x)=1 pour tout x appartenant à R*;cepandant f n'est pas constante en R*.

BJR JASPER !!!
Il est IMPERATIF que I soit un intervalle non vide de IR pour que cela fonctionne en conjonction avec la CONTINUITE de f ; sinon on ne peut pas utiliser le TVI .
Ton contre-exemple illustre bien le dysfonctionnement .
On ne peut pas passer par exemple de x=-1 à x=1 sans traverser le point de discontinuité !!!
A+ LHASSANE